计算科学 - 如何理解 Krylov 子空间矩阵的 Hessenberg 矩阵的存储？ - 吾爱随笔录

如何理解 Krylov 子空间矩阵的 Hessenberg 矩阵的存储？

计算科学 matlab 线性求解器稀疏矩阵克雷洛夫法

2021-11-29 19:15:55

对于求解大型稀疏线性系统的 Krylov 子空间方法，我们首先需要生成一个子空间Km = span{v,Av,...A^{m-1}v}，这确实是一个将线性独立基转换为正交基的过程：其中是上 Hessenberg 矩阵，即有大约非零条目。因此，当我们在中编码时，我们首先需要，所以实际上，我们需要存储所有项，包括零项。但是在很多书中，作者都说矩阵的存储量大约是。我不明白作者为什么这么说？因为代码确实存储个条目，即使

V_{m} A V_{m} = H_{m},

$V_mAV_m = H_m,$

H_{m}

$H_m$

m^{2} / 2

$m^2/2$ matlabH = zeros(m,m)

m^{2}

$m^2$

H_{m}

$H_m$

m^{2} / 2

$m^2/2$ H = zeros(m,m)

m^{2}

$m^2$

m^{2} / 2

$m^2/2$ 零个条目。有什么建议？

2个回答

您的观点是正确的，Matlab 确实存储了零。正如@rchilton1980 所指出的，您在此处指出的这种特殊的非优化并不太有害，因为 Krylov 方法中的大部分存储是矩阵 V，而不是 H。但这只是一般现象的一个实例. 这只是 Matlab 在简单性和效率之间进行权衡的选择。

Matlab 通常不关心这些优化。存储的紧凑表示。或 LU 分解，为简单起见，返回两个单独的矩阵 L 和 U。分解是在新矩阵中计算的，而不是就地覆盖输入。 $n^2/2$

如果您关心该级别的效率，您将需要直接使用 Lapack 例程，或者切换到在这方面更好的 Julia。

在实践中，我认为的特定因素不值得追求。考虑到 gmres 应用于一个大问题（），那个小的 Hessenberg 投影存储与搜索向量本身）相形见绌。您被迫重新启动，因为太大，而不是因为。 $2$ $n >> m$ $m^2$ $m\cdot n$ $\mathbf V_m$ $\mathbf V_m$ $\mathbf H_m$

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