考虑极坐标$r,θ$中的二体中心力问题。

利用角动量守恒得到相应的二阶微分方程。这个等式是：

$d^2r/dt^2=l^2/(m^2r^3)−GM/r^2$

$r(t)$ 是粒子（质量为$m$）随时间$t$变化的径向位置。$l$是恒定的角动量。$G$是引力常数，$M$是较重物体的质量，假设静止在坐标系的原点，即$(r,θ)=(0,0)$

我想解决上面的非线性微分方程；它是非线性的，因为因变量$r$ 在 RHS 上具有 -3 和 -2 次幂。

我可以使用 4 阶 Runge-Kutta 方法来求解这个方程吗？

额外说明：实际上我们有两个不同的二阶微分方程（耦合）：一个用于$r$，另一个用于$θ$。角动量守恒将它们解耦并简化为上面给出的一个方程。此外，如果我们尝试解析求解上述 1-Dim 方程，我们最终会得到$t(r)$形式的解，即时间是$r$的函数。所以我们必须将其转换为$r(t)$。这种反演过程在实践中可能非常困难。请参阅 Goldstein 等关于经典力学的标准教科书（第 3 章）。

如果我们想以数字方式求解，这里的初始条件应该在和但是，如果我们想解析求解，我们需要初始条件为质量的总能量和角动量。我在这里感到困惑：我是否需要在 t=0 时使用所有初始条件，即能量、角动量、r和？$r$$dr/dt$$m$$r(t=0)$$dr/dt$$t=0$