计算科学 - 非均匀平流方程的 Crank-Nicolson 方法 - 吾爱随笔录

计算科学 pde 有限差分双曲-pde 平流曲柄尼科尔森

2021-12-09 19:35:33

假设我们有非均匀平流方程

(\frac{\partial}{\partial x} + \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}) u (t, x) = v (t, x)

$\left(\frac{\partial}{\partial x}+\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\right)u(t,x)=v(t,x)$ 为了

u, v : R \times R \to R

$u,v:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ （边界条件尚未指定）。

假设我们没有 $v$ ，即方程的齐次部分，Crank-Nicolson 方法将产生

- c \frac{μ}{4} u_{ℓ - 1}^{n + 1} + u_{ℓ}^{n + 1} + c \frac{μ}{4} u_{ℓ + 1}^{n + 1} = c \frac{μ}{4} u_{ℓ - 1}^{n} + u_{ℓ}^{n} - c \frac{μ}{4} u_{ℓ + 1}^{n},

$-c\frac{\mu}{4}u^{n+1}_{\ell-1}+u^{n+1}_{\ell}+c\frac{\mu}{4}u^{n+1}_{\ell+1}=c\frac{\mu}{4}u^n_{\ell-1}+u^n_{\ell}-c\frac{\mu}{4}u^n_{\ell+1},$

在哪里 $\mu=\frac{\Delta t}{\Delta x}$ 和 $u^n_\ell=u(n\Delta t,\ell\Delta x)$ .

我不知道如何处理这些方案中的不均匀性。

1个回答

一旦空间被离散化，您的方程可以用以下方式编写（任何空间导数近似都是有效的）：

\begin{matrix} (*) & \frac{1}{c} \frac{d u_{i}}{d t} = - {(\frac{\partial u}{\partial x})}_{i} (t) + v_{i} (t) \end{matrix}

$\frac{1}{c}\frac{du_i}{dt}=-\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)_i(t) + v_i(t) \tag{*}$ 请记住，

v_{i} (t) = v (x_{i}, t)

$v_i(t) = v(x_i,t)$ .

现在方程组只取决于时间 $t$ 您可以应用 Crack Nicholson 方法来求解 ODE 系统。为了简单，让右手边 $(*)$ 命名为：

F_{i} (t) = v_{i} (t) - {(\frac{\partial u}{\partial x})}_{i} (t)

$F_i(t) = v_i(t)-\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)_i(t)$ 因此

(*)

$(*)$ cab ne 改写如下：

\begin{matrix} (**) & \frac{1}{c} \frac{d u_{i}}{d t} = F_{i} (t) \end{matrix}

$\frac{1}{c}\frac{du_i}{dt}=F_i(t) \tag{**}$

Cranck-Nicholson 方法可以从 $\theta$ 方法设置 $\theta=1/2$ ，因此，时间离散方程 $(**)$ 是：

\frac{1}{c} \frac{u_{i}^{n + 1} - u_{i}^{n}}{δ t} = θ F_{i} (t^{n + 1}) + (1 - θ) F_{i} (t^{n}) = \frac{1}{2} [F_{i} (t^{n + 1}) + F_{i} (t^{n})]

$\frac{1}{c}\frac{u_i^{n+1}-u_i^{n}}{\delta t}=\theta\, F_i(t^{n+1}) + (1-\theta)F_i(t^n)=\frac{1}{2}\left[ F_i(t^{n+1})+F_i(t^n)\right]$

不要忘记我们有表达 $F_i(t)$ , 其中函数 $v_i(t)$ 也存在。

希望您现在知道如何处理该术语。

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