据我了解您的问题，您获得了一组值$f,y\in\mathbb{R}^n$并且必须解决一个系统

$$\begin{align*} \begin{pmatrix} f_1&\ldots& f_n\\ \vdots&&\vdots\\ f_1^n&\ldots& f_n^n \end{pmatrix}\cdot x &= y \end{align*}$$ 为了$x\in\mathbb{R}^n$.

所有的值$f_i$是非零的。否则你的矩阵将是奇异的，你运气不好。

缩放参数后$z_i := f_i \cdot x_i$您获得 Vandermonde 矩阵作为系统矩阵：

$$\begin{align*} \begin{pmatrix} 1&\ldots& 1\\ f_1&\ldots& f_n\\ \vdots&&\vdots\\ f_1^{n-1}&\ldots& f_n^{n-1} \end{pmatrix}\cdot z &= y \end{align*}$$ 请注意，已知这种矩阵在一般情况下是非常病态的。对于这样的系统，有一些特殊的算法可以利用不同的差异。也许您可以通过 Internet 搜索找到该算法的最新变体。在 LGPL 许可下还有一个matlab 代码 VANDERMONDE实现了这种方法。

另请参阅类似的问题https://math.stackexchange.com/questions/384126/solving-linear-equations-with-vandermonde。

解决该系统后，您可以通过以下方式缩减解决方案$x_i = \frac{z_i}{f_i}$.

考虑到矩阵并不大，但条件不佳，您可以尝试使用正则化技术：

• 截断的 SVD（例如参见链接）
• Tikhonov 正则化

与预处理技术不同，您有一个等效的系统，但矩阵具有更好的光谱特性，这里您近似问题，即原始系统。

这里的另一个选择是使用高精度算术来求解您的方程组。四倍精度浮点运算应该足以处理您的条件数$10^{19}$并给你一个大约 10 位数的答案，假设你的问题中的所有系数都精确到 30 位数。除此之外，还有用于扩展精度浮点运算的库，可用于获得更多位数。