你遇到的问题不是很好。本质上，您正在寻找两个函数应该只求解一个方程。那是不够的信息。$f_1(x,y),f_2(x,y)$

为了让您了解为什么这不起作用，假设您找到了一组解决方案。那么不难验证是也是您可能想要选择的任何函数的解决方案。因此，我只需轻轻一挥，就已经找到了无穷无尽的解决方案——太多了，无法做任何有用的事情。$\vec f(x,y)=(f_1(x,y),f_2(x,y))^T$$\tilde {\vec f}(x,y) =(f_1(x,y)+g(y),f_2(x,y)+h(x))^T$$g(y),h(x)$

换句话说，是否有数值方法可以解决您的问题是一个有争议的问题：您首先需要解决基本的数学问题，然后我们可以讨论数值逼近。

（您可能想反对边界条件要求我选择。但这只会改变问题：我仍然可以构造一个对于在边界上满足和 。有无穷多个这样的函数，例如，具有零边界值和任意右手边的斯托克斯方程的所有解。）$g(y)=h(x)=0$$\tilde{\vec f}(x,y)=\vec f(x,y) + \vec \varphi(x,y)$$\vec\varphi$$\text{div}\vec\varphi=0$$\vec\varphi=0$

有很多方法可以做到这一点，可以应用有限差分法、有限体积法或有限元法。

上述方程通常被称为毒方程，通常是数值方法课程中新主题中第一个提出的方程。

我在堆栈溢出问题矩阵的答案中的有限差分离散化相关的矩阵，以生成有限差分（该矩阵在 MATLAB 代码中为）。$u_{xy}$A

或者，在维基百科上提到并参考Evans (2010) (p. 400)，您可以将方程转换为一维波动方程。我在下面尝试过这个。边界条件可能会变得更加棘手。$u_{xy}$

如果你想摆脱你的混合导数，你可以使用坐标变换

$$\begin{aligned} \hat{x} &= x+y\,, & x = \frac{\hat{x}+\hat{y}}2\,, \\ \hat{y} &= x-y\,, & y = \frac{\hat{x}-\hat{y}}2\,. \end{aligned}$$ 你可以证明 然后 $$\begin{gathered} u_{\hat{x}\hat{x}} = u_{xx} + 2 u_{xy} + u_{yy}\,,\\ u_{\hat{y}\hat{y}} = u_{xx} - 2 u_{xy} + u_{yy}\,, \end{gathered}$$ $$\begin{aligned} u_{xy} {}&{}= \frac{ u_{\hat{x}\hat{x}} - u_{\hat{y}\hat{y}} }4 \\ {}&{}= a\left(\frac{\hat{x}+\hat{y}}2,\frac{\hat{x}-\hat{y}}2\right)\,. \end{aligned}$$

正如沃尔夫冈所解释的，问题不在于找到解决方案，而在于选择一个解决方案。

如果只是一些解决方案适合您，请继续并采取$f_2\equiv 0$（例如）并解决$\partial_x f_1(x,y) = a(x,y)$对于每个$y$（这意味着整合，例如$f_1(x,y) = \int_{x_0}^x a(t,y)dt$）。但是，如果您出于某种原因对该解决方案不满意，则需要考虑您对解决方案还有哪些其他条件。

仅举两个例子：

1. 您可能想寻找最少的解决方案$L^2$-规范。这将导致具有线性等式约束的二次优化问题，即

   $$\min \int f_1(x,y)^2 + f_2(x,y)^2 dxdy\quad\text{s.t.}\quad \operatorname{div} f = a.$$ 这个问题的最优系统是另一个偏微分方程系统……

2. 您可能对无卷曲的解决方案感兴趣。然后使 ansatz（这意味着）并解决 这确实是一个泊松方程。$f = \nabla u$$\operatorname{curl}f = \operatorname{curl}\nabla u = 0$

   $$\operatorname{div}\nabla u = \Delta u = a$$