如果$i$和$j$是已知的，那么由此产生的约束$x_{1}, \ldots, x_{i}$和$x_{j}, \ldots, x_{n}$都是线性的，并且易于在非线性规划求解器中实现。

然而，如果$i$和$j$实际上是决策变量，那么问题应该被表述为混合整数非线性程序（MINLP）并使用 MINLP 求解器求解。

也许我误解了这个问题？

正如 Geoff Oxberry 在他的评论中指出的那样，如果你先验地知道$x_k=0$为了$k\leq i$和$k\geq j$，那么对于这些​​变量没有什么可以优化的，你可以解决（较小的）减少的无约束问题$\min_{x\in\mathbb{R}^{j-i-1}}\hat f(x)$，其中仅将非零变量作为输入。$\hat f$

如果由于某种原因这不可行，您可能需要更新您的问题以包含此内容以获得具体建议。但是要解决您评论中的问题：一种可能的方法来解决形式为 for some (convex) set (在你的情况下，）是投影梯度下降（这是一个特殊的实例近端梯度方法），由迭代定义 其中是凸集上的投影（在你的情况，只需设置相应的$\min_{x\in C} f(x)$$C\subset\mathbb{R}^n$$C=\{x\in\mathbb{R}^n: x_k=0,\ k\leq i \text{ or }k\geq j\}$

原则上，这就是您正在做的事情，只是您使用共轭梯度而不是梯度作为搜索方向。我没有检查过证明，但我认为只要你有下降方向，你的版本应该仍然可以工作。但是，这是否合理取决于您的定义（这有点像大锤方法......）

即使和已知，如果目标函数是非凸的，这也很难。因此，只要目标函数是凸的或凹的，你就能找到这个问题的精确解。如果目标函数是非凸的，你可以通过 DC Programming 找到这个问题的近似解。$i$$j$