计算科学 - 计算没有闭合形式的不定积分 - 吾爱随笔录

我需要评估以下不定积分：

I = \int \frac{x^{5} + 2 a x^{3} + a^{2} x - 4 a}{x^{7} + a x^{5} + 2 a x^{4}} d x = \int \frac{x^{5} + 2 a x^{3} + a^{2} x - 4 a}{x^{4} (x^{3} + a x + 2 a)} d x

$I=\int\frac{x^5+2ax^3+a^2x-4a}{x^7+ax^5+2ax^4}dx=\int\frac{x^5+2ax^3+a^2x-4a}{x^4(x^3+ax+2a)}dx$

我在 SageMath 中评估积分时获得的解决方案是

\frac{(a^{2} + 10 a + 8) \log (x)}{8 a} - \frac{\int \frac{a^{3} + (a^{2} + 10 a + 8) x^{2} + 14 a^{2} - 2 (a^{2} + 6 a) x + 16 a}{x^{3} + a x + 2 a} d x}{8 a} + \frac{3 (a + 2) x^{2} - 3 (a + 2) x + 8}{12 x^{3}}

$\frac{{\left(a^{2} + 10a + 8\right)} \log\left(x\right)}{8a} - \frac{\int \frac{a^{3} + {\left(a^{2} + 10a + 8\right)} x^{2} + 14a^{2} - 2{\left(a^{2} + 6a\right)} x + 16a}{x^{3} + a x + 2a}{d x}}{8a} + \frac{3{\left(a + 2\right)} x^{2} - 3{\left(a + 2\right)} x + 8}{12x^{3}}$ 其中解决方案包含一个表达式，该表达式本身包含一个积分。根据 SageMath 的手册，当积分没有闭合形式时会发生这种情况。

问题：是否有可能以其他方式处理 SageMath 中的积分？

问题：是否有任何其他技术或任何近似方法来处理积分？我在想积分是否可以通过求积来解决。