我在 Matlab 上实现了一个高阶有限差分方案来近似的一阶导数$f(x_i)$给定$x = [x(1), x(2),..., x(i),..., x(n)]$和$f = [f(x(1)),..,f(x(n))]$和$x$来自的非均匀网格$x(1)$到$x(n)$（实际上它们是 Legendre-Gauss-Lobatto 节点$[-1,1]$）。现在我使用https://en.wikibooks.org/wiki/Using_High_Order_Finite_Differences/Definitions_and_Basics#approximation_of_a_first_derivative的第 2.1 章中详述的方法，它使用 Vandermonde 矩阵。

我决定先设置$h = x(i+1)-x(i)$要么$x(i)-x(i-1)$根据$i$，然后我计算范德蒙德矩阵$M$使用$\alpha(j) = (x(j)-x(i))/h$我得到了$a_j$的系数与$M\backslash [0,1,0,..,0]$'。最后$f'(x_i) ~ (1/h)*(a_1*f(x_1) + ... + a_n*f(x_n))$. 看起来这个方法返回了正确的结果，不幸的是它使计算非常慢......

你知道另一种计算任意阶有限差分方案的方法吗？或者更快的方法来计算$a_j$的系数？

我希望我的解释足够清楚，并且已经感谢您的回答。