计算科学 - 具有指数符号积分的数值积分 - 吾爱随笔录

具有指数符号积分的数值积分

计算科学数字时间积分一体化符号计算结石

2021-12-02 22:52:21

很多时候在傅里叶近似中，我们遇到积分，例如

\int_{0}^{1} e^{- γ \int_{0}^{x} u_{0} (η) d η} d x

$\int_0^1 e^{-\gamma\int_0^xu_0(\eta)d\eta}dx$ 其中，是一个常数，的数据作为离散采样向量提供。

γ

$\gamma$

u_{0}

$u_0$

如何对这种数值积分进行积分？

2个回答

我要么对的样本进行插值，要么进行曲线拟合，以获得一个易于分析积分插值或拟合方法的选择取决于您对的了解。例如，如果它是一个带限信号，并且采样频率大于奈奎斯特速率，那么使用 sinc 函数进行插值将是理想的，尽管外部积分必须以数值方式完成。如果对，我将使用 1 阶或更多阶的样条曲线，具体取决于样本的平滑度。 $u_0$ $u_0(\eta)$ $u_0(\eta)$ $u_0$

例如，对于任何线性插值方法，您可以写成，然后计算其中对于 1 阶样条，即分段线性近似，应该可以使用误差函数否则，您将需要一些正交规则，并且由于您可以选择正交节点，因此 Gauss-Kronrod 或 Clenshaw-Curtis 等规则可能是最佳选择。

u_{0} (η) = \sum_{i} a_{i} ϕ_{i} (η),

$u_0(\eta) = \sum_i a_i \phi_i(\eta),$

I = \int_{0}^{1} \exp (- γ \sum_{i} a_{i} ψ_{i} (x)) d x,

$I = \int_0^1 \exp\left(-\gamma \sum_i a_i \psi_i(x)\right)dx,$

ψ_{i} (x) = \int_{0}^{x} ϕ_{i} (η) d η .

$\psi_i(x) = \int_0^x\phi_i(\eta)d\eta.$

I

$I$

我认为最简单的方法可能只是在外部积分上的外部循环，同时交互增加内部积分。所以你基本上对外部积分做了一个中点规则，并记住最后一步的内部积分的值。

伪代码：

double dx = 1e-12;
double inner_int =0.0;
double outer_int =0.0;

for(double x = 0.0; x<=1.0;x+=dx){
  inner_int += u_0(x)*dx;
  outer_int += exp(gamma*inner_int)*dx;
}

把它想象成在你的轴上从左到右扫描，记住最后一个内积分的值。可能会有更优雅的改进（梯形规则或类似规则）。这只是一个预感，所以请用一些测试用例来验证它:-)

您尚未发布功能。绝对确保没有可用于内部积分的解析表达式。有很多用于积分表达式的表格，您可能很幸运能找到您的特定表格。（例如在 Bronstein/Semandjajew 或类似的收藏中） $u_0$

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