我需要计算密集矩阵的逆矩阵，其中一些元素的值高达 1e9 和一些在 1e2 左右。最好的方法是什么？
笔记：
我更关心答案的精度，而不是最小化计算时间。
我明确需要找到inverse任何线性系统的解决方案而不是解决方案Au=b。
大小：矩阵的大小低于。
公式3,3 阶 Pade 逼近的公式可以表示为：
在哪里，
A是要找出其指数的矩阵。
这是 3,3 阶的 Pade 近似值。我正在尝试实现 13,13 阶的 Pade 近似，其中 17643225600
实现：我正在实现 Pade Approximation 来查找矩阵的指数，我需要在其中找到“分母”矩阵的逆矩阵。
根据矩阵的条件数，计算矩阵指数的 Padé 近似值是非常病态的，尤其是对于这样的高阶。如果一个问题是病态的，那么再多的数学技巧也无法实现稳定的计算；但是，通常您可以将问题更改为条件更好的问题（并且仍然会导致所需的结果）。做什么取决于你的任务的确切性质：
如果目标是矩阵指数的近似值，请查看 Clive Moler 和 Charles van Loan 的开创性论文计算矩阵指数的 19 种可疑方法中的一种更好的方法，SIAM Rev., 45(1), 3-49 . （特别是第 10 页的 #2 讨论了 Padé 近似，您应该考虑缩放和平方方法 #3。）
如果它必须是 Padé 近似，则有更强大的方法可以通过 SVD 而不是直接反演来计算它；参见 Pedro Gonnet、Stefan Güttel 和 Lloyd N Trefethen 的论文Robust Padé approximation via SVD , SIAM Rev., 55(1), 101–117。（本文处理的是实函数的 Padé 逼近，而不是矩阵函数，因此需要做一些进一步的工作。）
否则，对于您正在查看的矩阵大小和类型，并且由于您不太关心性能，我认为没有比使用高质量库中的直接求解器（例如，LU 分解）更好的方法求解每个单位向量，线性系统并设置。根据软件框架，您应该使用可用的最高精度数据类型来最小化舍入误差。