计算科学 - 耦合 PDE：边界条件设置的混乱 - 吾爱随笔录

我有一个耦合 PDE 问题（Poisson-Schrondinger 系统），即

首先我需要解决一个特征值问题（Galerkin 方法离散化的薛定谔问题）

A x = λ x, A = A (u)

$Ax=\lambda x, ~~~A=A(u)$

然后使用输出计算泊松方程的一些源项（电荷）（在同一网格上离散化） $x$

K u = b, b = b (x)

$Ku=b, ~~~b=b(x)$

问题是：我想在纽曼意义上解决这个问题，这意味着我不想在特征值问题的边界处强制 x 为 0，尽管它可能很小。因此，对于两个 PDE，我都更喜欢 Neumann BC，那么在我看来，即使矩阵是奇异矩阵也可以正常工作，而不能。 $Ax=\lambda x$ $Ku=b$

我的解决方案是为设置 Neumann BC，为泊松问题设置 Dirichlet BC。结果看起来不错，我的问题是： $Ax=\lambda x$

当 K 是奇异的时 Ku=b 将不起作用，因为解决方案未确定为常数，对吗？
为什么当 A 矩阵是奇异矩阵时，特征值问题仍然有效？它会自动丢弃空空间吗？（我使用matlab eigs解决了特征值问题）
Neumann 和 Dirichlet BC 在这个耦合问题中的组合仍然导致了 Neumann 意义上的物理问题，对吧？ x 求解的x满足 Neumann 并且 b=b(x) 隐式将此 Neumann 条件构建为泊松问题） $Ax=\lambda x$