我不确定您的应用程序——我们说的是函数而不是系统但为简单起见，我将解释实值函数的概念。考虑一个开放域和一个函数。我们说如果其中 直观地说，一个$L^2$$\Omega$$f:\Omega \to \mathbb{R}$$f \in L^2(\Omega)$$||f||_{L^2(\Omega)} < \infty$

$$\begin{equation} ||f||^2_{L^2(\Omega)} = \int_{\Omega}|f(x)|^2 dx. \end{equation}$$ $L^2$函数是一个函数，其图形下的区域是有限的，而您允许函数本身存在不连续性。例如，如果您采用正弦波并创建一组测量为零的不连续性（删除正弦波上的“一些”点），它仍然是可积的，因此在中（但它不再是连续的）。$L^2$

现在，如果您考虑空间，它包含所有函数使得其中 直观地说，中的函数是弱可微函数，也就是说，除了在一组测量点 0 处之外，它们在任何地方都是可微的。这意味着有“一些不连续点”，所以中。（一个很好的例子是帽子功能）$H^1(\Omega)$$f$$||f||_{H^1{\Omega}} < \infty$

$$\begin{equation} ||f||^2_{H^1(\Omega)} = \int_{\Omega}|f(x)|^2 + |f'(x)|^2 dx. \end{equation}$$ $H^1$$f'$$f' \in L^2$

最后，使用相同的逻辑，函数是那些两次的函数 - 弱可微，因此适用前一个空间的相同逻辑。$f \in H^2(\Omega)$$H^1$