计算科学 - 如何在有限体积意义上评估三角形区域内多项式的平均值？ - 吾爱随笔录

计算科学有限体积非结构化网格

2021-12-01 02:12:19

考虑我们有一个线性二元多项式：

p (x, y) = a x + b y + c .

$p(x,y)=ax+by+c.$

为了使用最小二乘法构造线性多项式，我们需要评估平均多项式的值 $p$ 至少在三个单元格中，大约必须等于保守变量的平均值 $\bar{\psi}$ .

\frac{1}{Δ_{i}} \int_{Δ_{i}} p (x, y) d x d y = {\bar{ψ}}_{i} .

$\frac{1}{\Delta_i}\int_{\Delta_i}{p(x,y)}\,dx\,dy = \bar{\psi}_i.$

我的问题是：

1个回答

如果 $(x_i,y_i)$ 是三角形的质心，那么

\frac{1}{Δ_{i}} \int_{Δ_{i}} p (x, y) d x d y = p (x_{i}, y_{i}) = {\bar{ψ}}_{i}

$\frac{1}{\Delta_i}\int_{\Delta_i}{p(x,y)}\,dx\,dy = p(x_i,y_i) = \bar{\psi}_i$ 这是中点正交，对于仿射函数来说是精确的。三角形的质心是其三个顶点的算术平均值。注意

x_{i} = \frac{1}{Δ_{i}} \int_{Δ_{i}} x d x d y = \frac{1}{3} \sum_{v e r t} x_{v e r t}

$x_i = \frac{1}{\Delta_i} \int_{\Delta_i} x dx dy = \frac{1}{3}\sum_{vert} x_{vert}$ 同样对于

y_{i}

$y_i$ . 这建议重新参数化

p

$p$ 作为

p = {\bar{ψ}}_{i} + a (x - x_{i}) + b (y - y_{i})

$p = \bar{\psi}_i + a (x-x_i) + b(y-y_i)$ 自动满足平均条件。

其它你可能感兴趣的问题