计算科学 - 基于状态方程的变系数隐式方法 - 吾爱随笔录

基于状态方程的变系数隐式方法

计算科学隐式方法

2021-12-22 02:17:02

例如，我有一个方程式，类似于

$\partial_t \rho = -\nabla\cdot (\rho u) + \nabla \cdot(D(\rho, T) \nabla \rho) + \rho_s$

(与其他一些偏微分方程耦合) $\rho, \rho_s, u, T$

我可以使用 Forward Euler 来近似未来和来估计未来系数，然后将它们插入隐式方案还是有更好的方法？ $\rho$ $T$

作为状态方程，我有系数的表值，并且能够在这些值之间进行插值，所以我应该能够计算插值的雅可比行列式。如果在 PDE 上使用 Forward Euler 不够好，我现在可以使用 Jacobian，所以除了使用显式方法和 Jacobian 的系数之外，所有内容都是隐式的？ $D(\rho, T)$

如果这还不够好，我真的很想输入一些如何进行的信息。未来如何得到雅可比行列式？和的可能未来值进行某种采样？ $\rho$ $T$

（我想解学术百科中的方程，但这个玩具例子应该足以让我开始）

1个回答

有很多方法可以做到这一点。您的“预测校正”方法是一种方法。一个更好的概念框架是先做一个时间离散化，然后看看你有什么样的问题。例如，如果你想做一个隐式欧拉方案，你必须在每个时间步解决以下问题：忽略其他变量。这是一个要在中解决的非线性问题，现在解决非线性问题的所有技术都已摆在桌面上。例如，您可以进行牛顿迭代，试图找到一个序列 (是

\frac{ρ^{n} - ρ^{n - 1}}{Δ t} = - \nabla \cdot (ρ^{n} u) + \nabla \cdot (D (ρ^{n}, T) \nabla ρ^{n}) + ρ_{s},

$\frac{\rho^n-\rho^{n-1}}{\Delta t} = -\nabla\cdot (\rho^n u) + \nabla \cdot(D(\rho^n, T) \nabla \rho^n) + \rho_s,$

ρ^{n}

$\rho^n$

ρ^{n, k}

$\rho^{n,k}$

k

$k$

n

$n$ th time step) 你需要从一些开始。一个好的第一个猜测是，牛顿最终迭代在 st 时间步。一个更好的牛顿迭代将是。另一种选择是从开始，其中后一项是时间步的显式欧拉解。

ρ^{n, 0}

$\rho^{n,0}$

ρ^{n, 0} = ρ^{n - 1, *}

$\rho^{n,0}=\rho^{n-1,\ast}$

(n - 1)

$(n-1)$

ρ^{n, 0} = ρ^{n - 1, *} + Δ t \frac{ρ^{n - 1, *} - ρ^{n - 2, *}}{k} \approx ρ^{n - 1, *} + Δ t \frac{\partial ρ (t)}{\partial t}

$\rho^{n,0}=\rho^{n-1,\ast}+\Delta t \frac{\rho^{n-1,\ast}-\rho^{n-2,\ast}}{k} \approx \rho^{n-1,\ast}+\Delta t \frac{\partial \rho(t)}{\partial t}$

ρ^{n, 0} = ρ^{n, e e}

$\rho^{n,0}=\rho^{n,ee}$

许多方案可以被视为任何这些想法的变体。也许他们对这些初始猜测中的任何一个都进行了一次牛顿迭代，或者他们对这些初始猜测中的任何一个进行了一次定点（“Picard”）迭代。但最终，如果您想隐式解决问题，首先将其写成的非线性问题会有所帮助。 $\rho^n$

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