计算科学 - 不连续 Galerkin 方法 (DGM) 的多项式归一化 - 吾爱随笔录

我很好奇是否有人可以分享他们对此事的看法。我注意到文献中的一些人将他们的勒让德多项式归一化，即将多项式除以或乘以其中是多项式的阶。我对 DG 很陌生，但是当我规范化我的勒让德多项式时，我体验到的结果比不规范化时更好。人们正常化有什么特别的原因吗？

\sqrt{\frac{2 n + 1}{2}},

$\sqrt{\frac{2n+1}{2}},$

n

$n$

时的密度，归一化勒让德多项式。 $T = 0.3$

时的密度，未归一化勒让德多项式 $T = 0.3$

就分辨率而言，我在网格点上运行。 $50\times 50$

多项式子程序：

function legendre (x,n)
integer :: n
real(kind=8) :: x
real(kind=8) :: legendre
x = min(max(x,-1.0),1.0)
select case(n)
case(0)
 legendre = 1.0
case(1)
 legendre = x
case(2)
 legendre = 0.5*(3*x**2-1)
case(3)
 legendre = 0.5*(5.0*x**3-3.0*x)
case(4)
 legendre = 0.125*(35.0*x**4-30.0*x**2+3.0)
case(5)
 legendre = 0.125*(63.0*x**5-70.0*x**3+15.0*x)
case(6)
 legendre = 1.0/16.0*(231.0*x**6-315.0*x**4+105.0*x**2-5.0)
end select
legendre = sqrt((2.0*dble(n)+1.0)/2.0)*legendre
return
end function legendre

function legendre_prime (x,n)
integer :: n
real(kind=8) :: x
real(kind=8) :: legendre_prime
x = min(max(x,-1.0),1.0)

select case(n)
case(0)
  legendre_prime = 0.0
case(1)
  legendre_prime = 1.0
case(2)
  legendre_prime = 3.0*x
case(3)
  legendre_prime = 0.5*(15.0*x**2-3.0)
case(4)
  legendre_prime = 0.125*(140.0*x**3-60.0*x)
case(5)
  legendre_prime = 0.125*(315.0*x**4-210.0*x**2+15.0)
case(6)
  legendre_prime = 1.0/16.0*(1386.0*x**5-1260.0*x**3+210.0*x)
end select
legendre_prime = sqrt((2.0*dble(n)+1.0)/2.0)*legendre_prime
return
end function legendre_prime