我编写了一个代码来解决 Navier-Stokes 方程的不可压缩公式。它对时间和空间导数都使用高阶方法。我一直在进行收敛速度分析，以验证我的求解器的高阶方面。

对于空间收敛，问题相对简单。例如，我选择一个时间步长$\mathrm{dt} = 10^{-4}$, 以 32 分开始 ($\sqrt{n_x n_y}$) 网格并将我的网格细化为 2。在 1024 网格中，$L_2$-error 达到了一个平台，这对应于前导误差项来自时间离散化方案的点。

时间收敛性研究并不那么容易。我正在使用显式的低存储 RK3 方法。问题是我需要有一个足够精细的网格，以便主要误差项是时间离散化的。根据 CFL 条件，这会产生非常小的$\mathrm{dt}$使模拟稳定。当减少$\mathrm{dt}$为了计算收敛速度，我很快就达到了高原，这表明主要误差项来自空间离散化。因此，我需要进一步细化我的网格，这反过来会导致更小的时间步长等等。这感觉就像蛇咬自己的尾巴。

例如，假设我针对 4096 点网格和时间步长及时开始收敛分析$\mathrm{dt} = 10^{-4}$. 我获得$L_2$-错误为$\mathrm{dt} = 5 \mathrm{x} 10^{-5}, 2.5 \mathrm{x} 10^{-5}, 1.25 \mathrm{x} 10^{-5}$并观察收敛顺序$2.99, 2.70$和$0.26$，最后一个值表明前导误差项现在已成为空间离散化的前导误差项。最后，与上面提到的空间方案相反，没有太多的收敛可以显示。

所以现在我想知道，我是否采取了正确的方法？对于看似简单的任务，这似乎过于复杂和耗时。