计算科学 - 正向欧拉法的稳定性 - 吾爱随笔录

我试图了解正向欧拉方法的稳定性。我读到有一个模型问题来查看稳定性。

y^{'} (t) = λ y (t) t \in (0, \infty)

$y'(t) = \lambda y(t) \qquad t \in (0, \infty)$

y (0) = 1

$y(0) = 1$

然后这本书显示了这一点：

u_{0} = 1 does this come from the initial condition?

$u_0 = 1 \qquad \text{does this come from the initial condition?}$

然后

u_{n + 1} = u_{n} (1 + λ h) = (1 + λ h)^{n + 1}, n \geq 0

$u_{n+1}=u_n(1+\lambda h) = (1+\lambda h)^{n+1}, \qquad n ≥ 0$

我无法理解是如何出现的 $(1+\lambda h)^{n+1}$

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然后分析表明的唯一方法是（为什么它需要小于 1？）这给出（根据书）

lim_{n \to \infty} u_{n} = 0

$\lim_{n \rightarrow \infty} u_n = 0$

| 1 + λ h | < 1

$|1+\lambda h| < 1$

h < \frac{2}{| λ |}

$h < \frac{2}{|\lambda|}$

对于不等式 $|1+\lambda h| < 1$ 我得到的是 $\frac{-2}{\lambda} < h$ 的绝对值。 $\lambda$

这本书是如何得出这个结论的？我不希望得到一个非常复杂的答案（值得赞赏），而是一种简单的方法来理解未显示的中间步骤。