计算科学 - 常微分方程的特征值问题 - 吾爱随笔录

我正在尝试计算悬臂梁的自然频率。Euler-Bernoulli 方程简化为以下问题：

v^{⁗} = λ v, with, v (0) = 0, v^{'} (0) = 0, v^{‴} (1) = 0, v^{″} (1) = 0

$v''''=\lambda v, \text{with }, v(0)=0, v'(0)=0, v'''(1)=0,v''(1)=0$

其中上标对应于推导。这些是获得解决方案的步骤： $'$

将问题简化为一阶微分方程组

v^{'} = v_{1} v_{1}^{'} = v_{2} v_{2}^{'} = v_{3} v_{3}^{'} = λ v

$v'=v_1\\ v_1'=v_2\\ v_2'=v_3\\ v_3'=\lambda v$ 边界条件为 2) 用python写系统（对应）

v (0) = 0 v_{1} (0) = 0 v_{2} (1) = 0 v_{3} (1) = 0

$v(0)=0\\ v_1(0)=0\\ v_2(1)=0\\ v_3(1)=0$ k

λ

$\lambda$

def fun(x, y):
    return np.vstack((y[1],y[2],y[3], k*y[0]))
def bc(ya, yb):
    return np.array([ya[0], ya[1],yb[2],yb[3]])

定义网格和初始条件

x = np.linspace(0, 1, 100)

y_0 = np.zeros((4, x.size))
y_0[0]=np.sinh(x)
y_0[1]=np.cosh(x)
y_0[2]=-np.sinh(x)
y_0[3]=-np.cosh(x)

在这一点上我的想法，我scipy.integrate.solve_bvp 用来解决改变参数的边界值问题： $k$

k_list=[1.80,1.81,1.82,1.83,1.84,1.85]    
for k in k_list:    
    soly= solve_bvp(fun, bc, x, y_b)
    print(soly.status)
    y_plot = soly.sol(x)[0]
    plt.plot(x, y_plot, label='y_b')

soly.sol并将等于的值作为右特征值，但是，对于前面的代码，我获得了中所有值的解。 $0$ k_list

即使我实现了一个拍摄方法，这是检查我是否得到正确的特征值的正确方法？