计算科学 - 样条正则化 - 吾爱随笔录

我正在将一些 B 样条拟合到数据中，但数据有一个“间隙”区域，其中样条受数据的约束较少。我想设计一个正则化方案来帮助防止样条偏离它应该在的位置太多。

样条正则化的一种标准方法是最小化样条的曲率，近似于在整个区间上积分的二阶导数。例如，如果我们有一个样条 $f(t)$ ，被定义为

f (t) = \sum_{i} x_{i} N_{i} (t)

$f(t) = \sum_i x_i N_i(t)$ 在哪里

N_{i} (t)

$N_i(t)$ 是用某个节点向量定义的归一化 B 样条基函数。然后我们可以定义：

\begin{aligned} curvature & \approx \int d t {| \frac{d^{2} f (t)}{d t^{2}} |}^{2} \\ = x^{T} G x \end{aligned}

$\begin{align} \textrm{curvature} &\approx \int dt \left| \frac{d^2 f(t)}{dt^2} \right|^2 \\ &= x^T G x \end{align}$ 和

G_{i j} = \int d t \frac{d^{2} N_{i} (t)}{d t^{2}} \frac{d^{2} N_{j} (t)}{d t^{2}}

$G_{ij} = \int dt \frac{d^2 N_i(t)}{dt^2} \frac{ d^2 N_j(t)}{dt^2}$ 然后我们可以将正则化最小二乘问题定义为，

min_{x} | | b - A x | |^{2} + λ^{2} x^{T} G x

$\min_x || b - A x ||^2 + \lambda^2 x^T G x$ 并解决这个问题，例如使用正规方程方法。矩阵

G

$G$ 不是正定的，所以我不确定这是否可以用 QR 或 SVD 解决。

无论如何，这里有两个例子说明我使用这种正则化的结果。

2011 年至 2014 年期间是数据差距区域，您可以看到非正则化样条解（绿色）与其“基线”有很大的偏差。蓝色曲线显示了我尝试通过施加曲率正则化来进行正则化。但是，您可以看到结果仍然显示数据间隙区域中的凸起，并且还消除了我想保留的高频振荡。

所以我的问题是：任何人都可以想出一种更好的方法来规范这些样条曲线，以防止在间隙期间（2011-2014）与基线的大偏差，同时保持高频振荡？

一种可能性是对 2014-2019 年范围内的样条进行线性拟合，然后在 2011-2014 间隔期最小化到该线性拟合的距离。但我不知道如何将这样的条件放入通常的形式对于某些矩阵。 $x^T \Lambda x$ $\Lambda$

另一种可能性是以某种方式对样条进行高通滤波，尽管我也不知道如何将其实现为正则化条件。