计算科学 - 在 NLS 上使用 Kutta Merson - 吾爱随笔录

我正在尝试使用Kutta-Merson来获得与Solitons、Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering - MJ Ablowitz - pg 140一书中相同的结果

作者建议在以下方案中使用 Kutta-Merson：

i \frac{d u_{j}}{d t} + (u_{j - 1} - 2 u_{j} + u_{j + 1}) / h^{2} + | u_{j} |^{2} (u_{j - 1} + u_{j + 1}) = 0

$i\frac{du_j}{dt} + (u_{j-1} - 2u_j + u_{j+1})/h^2 + |u_j|^2(u_{j-1} + u_{j+1}) = 0$

给定的周期性条件和以下初始条件

u (x, 0) = 0.5 + 0.05 \cos (μ x) + 10^{- 5} i \sin (μ x)

$u(x,0) = 0.5 + 0.05 \cos(\mu x) + 10^{-5} i \sin(\mu x)$ 在哪里

L = 2 π \sqrt{2}

$L = 2\pi\sqrt{2}$ 是区间的长度和

μ = 2 π / L

$\mu = 2\pi/L$

我对 PDE 的这种方法不是很熟悉，但这是我尝试做的，使用 scilab：

我使用 scilab 函数定义了拉普拉斯算子和非线性，并将该方案以库塔方法的形式

\frac{d u_{j}}{d t} = F (u_{j})

$\frac{du_j}{dt} = F(u_j)$

我使用周期性条件来定义 F。这是拉普拉斯算子：

function l =L(u)
    A = zeros(M+1,M+1)
    // Condição periódica imposta ao laplaciano
    A(1,1) = -2; A(1,2) = 1; A(1,M+1) = 1
    for j=2:M
        A(j,j-1) = 1; A(j,j) = -2; A(j,j+1) = 1
    end
    A(M+1,1) = 1; A(M+1,M) = 1; A(M+1,M+1) = -2
    A = h^(-2)*A

    l = A*u
endfunction

这是非线性热

function n = N(u)
    n(1) = abs(u(1))^2 * (u(M+1) + u(2))
    for j=2:M
        n(j) = abs(u(j))^2 *(u(j-1) + u(j+1))
    end
    n(M+1) = abs(u(M+1))^2 * (u(M) + u(1))
endfunction

则 F 变为：

function f = F(u)
    f = %i*(L(u) + N(u)) 
endfunction

最后我用它来计算解决方案

for n=1:Nt

    k1 = k*F(U(:,n))
    k2 = k*F(U(:,n) + 1/3*k1)
    k3 = k*F(U(:,n) + 1/6*k1 + 1/6*k2)
    k4 = k*F(U(:,n) + 1/8*k1 + 3/8*k3)
    k5 = k*F(U(:,n) + 1/2*k1 - 3/2*k3 + 2*k4)

    U(:,n+1) = U(:,n) + 1/6*k1 + 2/3*k4 + 1/6*k5
end

我在时间网格使用 5000 个点，在 x-grid 使用 20 个点。我真的一无所知，所以如果我在做一些奇怪的事情，请告诉我并推荐一些关于它的材料