计算科学 - 使用具有总通量和 Diriclet BCs 的 Crank-Nicolson 对流扩散方程 - 吾爱随笔录

我正在尝试对一维平流扩散方程进行建模：

\frac{\partial c}{\partial t} = D_{c} \frac{\partial^{2} c}{\partial x^{2}} - u \frac{\partial c}{\partial x} .

${\partial c \over \partial t} = D_c{\partial^2 c \over \partial x^2} -u{\partial c \over \partial x}.$

使用 Robin 边界条件，在左边界 (x=0) 处具有总通量 BC：

u c - D_{c} \frac{\partial c}{\partial x} = u C_{f},

$uc-D_c{\partial c \over \partial x}=uC_f,$

右边界处的零通量 BC (x=L)：

\frac{\partial c}{\partial x} = 0.

${\partial c \over \partial x}=0.$

使用 Crank-Nicolson 方法可以将问题离散化，本文提供了一个示例https://publications.waset.org/10010828/analysis-of-one-dimensional-advection-diffusion-model-using-finite -差异方法。空间域以点离散 $i$ 从 $0-N$ 而时域是离散的 $j$ 从 $0-M$ . 方程形式的 Crank-Nicolson 读取

P C^{j + 1} = Q C^{j} + R .

$PC^{j+1}=QC^j+R.$

其中 $C^{j+1}$ 是包含当前时间步长未知值的 (N-1)x(1) 矩阵， $C^j$ 是包含前一个时间步长的已知值的 (N-1)x(1) 矩阵。 $R$ 形状为 (N+1)x(1) （我假设是因为它包括点 i=0 和 i=N）并包含边界条件。

我了解非边界节点的离散化，但是 BC 到底是如何完成的？另外，对于 N 个节点，为什么 $P$ 和 $Q$ 矩阵 (N-1)x(N-1)？