我正在尝试解决变量形式的传输方程$\psi(t,r)$

$$\begin{equation} \partial_t\psi-\alpha(r)\partial_r\psi-\beta(r)^2\psi-f(t,r)=0 , \end{equation}$$

我在哪里求解函数$f(t,r)$从另一个偏微分方程（波动方程 - 所以振幅$f(t,r)$在时间和空间中振荡）。我的问题是：我从其他论点中知道$\psi$应该$not$呈指数增长（本质上是术语$\beta^2\psi-f$应该及时振荡，所以有时$\psi$将呈指数增长，它也会在以后呈指数收缩，因此没有长期的长期增长$\psi$）。我在稳定地积分这个方程时遇到了麻烦，好像我得到了一个小的数值错误，$\psi$太大了，那么$\beta^2\psi-f$停止振荡并变为正定，我得到失控的增长$\psi$.

我的问题是：是否有可以导致该传输方程更稳定集成的场重新定义/解决方案技术？试图，例如定义$p\equiv \partial_t\psi-\alpha\partial_r\psi$根本解决不了问题。