计算科学 - 如何使用 matlab **fft** 函数或其他快速方法快速求解对流-扩散系统？ - 吾爱随笔录

对于具有如下 Dirichlet 边界条件的对流扩散方程：使用和的中心差，我们得到一个线性系统，其中矩阵是非对称的。令，我们知道矩阵是对称正定矩阵。给定一个常数，我们可以得到两个线性大稀疏系统，并且是一个单位矩阵。和

- u^{″} + q u^{'} = f

$-u''+qu'=f$

u^{″}

$u''$

u^{'}

$u'$

A x = b

$Ax=b$

A

$A$

H = (A + A^{'}) / 2, S = (A - A^{'}) / 2

$H = (A+A')/2,S = (A-A')/2$

H

$H$

α > 0

$\alpha>0$

I

$I$

(α I + H) x_{k + 1 / 2} = b_{1}

$(\alpha I+H)x_{k+1/2} = b_1$

(α I + S) x_{k + 1} = b_{2}

$(\alpha I+S)x_{k+1} = b_2$

我的问题是在3D情况下，上面两个系统又大又稀疏，如何使用sin和modified sin变换来快速解决2个系统，或者其他一些快速的方法，因为在matlab中，反斜杠命令'\'往往会对于这个非常大的 3D 稀疏，要慢一点。谁能给个matlab代码，非常感谢。

下面是我的 matlab 代码：对于 n=64 等距离这么慢。

clc;clear;close all
n=64;q=1;
h=1/(n+1);
I = speye(n);
r = q*h/2;
t1 = 6; t2 = -1-r; t3 = -1+r;
Tx = spdiags(ones(n,1).*[t2 t1 t3],[-1 0 1],n,n);
Ty = spdiags(ones(n,1).*[t2 0 t3],[-1 0 1],n,n);
Tz = spdiags(ones(n,1).*[t2 0 t3],[-1 0 1],n,n);
A = kron(Tx,kron(I,I))+kron(I,kron(Ty,I))+kron(I,kron(I,Tz));
H = (A+A')/2;   S = (A-A')/2;
lambda_maxH = eigs(H,1,'largestabs');
lambda_minH = eigs(H,1,'smallestabs');
alpha = sqrt(lambda_maxH*lambda_minH);
N = length(A);
I = speye(N);
b = A*ones(N,1);

%   this 2 systems are solved so slow
x1 = (alpha*I+H)\b;
x2 = (alpha*I+S)\b;