计算科学 - 借助 Moore-Penrose 逆正交投影到子空间的稳定方法， - 吾爱随笔录

向量到矩阵的列空间的投影由给出。从Moore-Penrose Inverse 的定义我们知道。 $v$ $A$ $AA^\dagger v$ $AA^\dagger v = (A^T)^\dagger A^T v$

下面是实现将随机向量投影到随机矩阵空间的代码。这与我的另一个问题Backward stable algorithm to get正交投影到矩阵的列空间有关。我没有得到那个问题的答案。

我想知道为什么两种计算投影的方法之间存在巨大差异。

  % testingprojfrostackexchange
  clear;    
  M = 1400;
  N = 1300;
  r = 1;
  A = rand(M,N);
  u = rand(M,r);

  projLN = pinv(A')*(A'*u);%This is projection through Least Norm
  projLS = A*(pinv(A)*u);%This is projection through Least Square

  [Q R] = qr(A);
  Q = Q(:,1:N);
  z1 = Q*(Q'*u);%This is the actual projection

  display('(projection through QQT) - projLS');
  norm(z1-projLN)/norm(projLN)

  display('(projection through QQT) - projLN');
  norm(z1-projLS)/norm(projLS)

输出

>> stackexchange
   (projection through QQT) - projLS

   ans =

   2.1569e-13

   (projection through QQT) - projLN

   ans =

   8.3546e-15

给出的实际投影，其中来自的 Housholder 分解。我们从和得到投影，发现是高矩阵更好。 $Q(:,1:N)Q(:,1:N)^T$ $Q$ $A$ $AA^\dagger$ $(A^T)^\dagger A^T$ $AA^\dagger$ $A$