计算科学 - 求解悬臂梁问题的线性弹性方程 - 吾爱随笔录

有没有人成功地使用线性弹性方程来模拟悬臂问题？

我正在求解的方程很简单：

\nabla \cdot σ = 0

$\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} = 0$

受限于固定端、自由表面以及施加载荷的位置的边界条件。我将载荷作为端面上的剪切应力/牵引力边界条件施加。

我没有运气让我的结果与分析解决方案相匹配。我绘制了沿梁长度的横向位移，曲线的形状近似为线性，而解析解是三次方。在比较我的数值结果和分析结果中的最大位移时，我相差了几个数量级。

我仔细研究了我的代码和数字，没有发现任何错误，但我可能是错的。悬臂梁问题可以用上面的方程建模吗？

根据评论编辑这篇文章：除了上面的方程，我还使用胡克定律和应力应变位移关系：

σ = 2 μ ϵ + λ t r (ϵ) I

$\boldsymbol{\sigma} = 2\mu \boldsymbol{\epsilon} + \lambda tr(\boldsymbol{\epsilon}) I$

ϵ = 0.5 [\nabla u + {(\nabla u)}^{T}]

$\boldsymbol{\epsilon} =0.5[\boldsymbol{\nabla u} + \boldsymbol{(\nabla u)}^T]$

编辑帖子以包含分析解决方案和维度。 我使用的分析解决方案是（http://ruina.mae.cornell.edu/Courses/ME4735-2012/Rand4770Vibrations/BeamFormulas.pdf）：其中 v 是链接中的横向位移或 y 位移。我目前正在建模的梁 L = 10m，方形横截面为 1m x 1m。所以这个问题的惯性矩。我在自由端施加 N 的力，相当于在自由端施加 Pa 的剪应力。我将其规定为牵引边界条件，因此自由表面的边界条件为：

v = \frac{F x^{2}}{6 E I} (3 L - x)

$v = \frac{Fx^2}{6EI}(3L-x)$

I = \frac{1}{12}

$I=\frac{1}{12}$

10^{6}

$10^6$

10^{6}

$10^6$

σ = [\begin{matrix} 0 & - 10^{6} & 0 \\ - 10^{6} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

$\sigma = \begin{bmatrix} 0 & -10^6 & 0 \\ -10^6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

或就牵引力而言：

T = σ n = [\begin{matrix} 0 \\ - 10^{6} \\ 0 \end{matrix}]

$T = \sigma n = \begin{bmatrix} 0 \\ -10^6 \\ 0 \end{bmatrix}$

附件是我得到的横向位移的结果。 $E=2*10^{11} Pa$