我想用 Matlab 求解一个常微分方程组。我需要这个来解决与机械工程相关的问题。如果$n$是我的机械系统的自由度的数量，那么变量的数量（当然还有方程的数量）是$n^2$. 我可以轻松地对 ODE 进行数值积分，例如$n=6$. 我可以说这个问题很棘手，因为 ode45 需要很长时间，而 ode15s 需要几秒钟并给出准确的结果。对于 13 个自由度系统（即 169 个变量），计算速度非常慢，这是因为步长很小，一开始是$\approx 10^{-18}$, 一分钟后变成$\approx 10^{-15}$它变得越来越大，但在某些时候我必须停止计算并且积分还没有达到$10^{-10}$（而与$n=6$我很容易从$0$到$100$）。我想知道这是否是我可以预料到的，因为有 169 个变量。在这种情况下我能做什么？我尝试了所有可用的求解器来解决棘手的问题，但并没有更好。

编辑：我知道 6 度系统和 13 自由度系统只是不同的模型，所以我无法进行比较，但从机械的角度来看，更大的系统并没有复杂得多。对于 ODE 的数值解，我非常天真，我预计问题的规模加倍（因此求解 4x 方程）会导致（大约）4x 计算时间。当然不可能这么简单，但我对这两个模型之间的差异感到惊讶。小系统的计算时间是“秒”，而对于大系统来说它已经“永无止境”了！

编辑：我最终发现了我的问题！正如我所说，ODE 与机械工程问题有关。问题是变量代表了实际的物理量，它们有不同的单位和非常不同的数量级！我只是通过适当的标量因子来缩放问题，计算时间显着减少！显然，您必须将解决方案缩放回正确的单位，但这并不是什么大问题。有关更多信息，我推荐这篇论文http://dx.doi.org/10.1137/S0895479803434914