我正在求解一个偏微分方程，其中一个中间步骤是在一个紧凑的区间内对一个函数进行数值积分。该函数在线性间隔的网格上表示。我正在使用辛普森规则（所以我使用被积函数的值$x_i$,$x_{i-1}$和$x_{i-2}$以及积分的值$x_{i-2}$获得积分$x_i$) ，但有时我会在积分后得到曲折的噪音。我知道为什么（在辛普森一家规则中，偶数点$x_{2i}$和奇怪的$x_{2i+1}$是分开获得的，很大程度上取决于第一点的误差$x_0$和$x_1$. 但是那里的错误更大，因为必须使用较低阶的例程，因为辛普森规则需要三分）。

我怎样才能解决这个问题？线性间隔网格上最先进的集成例程是什么？