问题：在计算两个径向对称函数的卷积时，我遇到了旁瓣问题。我想知道我是否应该从二阶切换到四阶并积极地细化网格，或者是否有更合适的方法来计算这个卷积。

我有径向对称的卷积核，以足够明确的表示形式给出，如高斯之和、分段常数或分段多项式$r^2$. 我有例程来分析评估这些内核的傅里叶变换，无论是逐点还是在环上积分。如果对这些细节感兴趣，请参阅附录。

为了计算两个这样的内核的卷积，我在傅里叶空间中足够精细的网格上逐点评估傅里叶变换，将两个傅里叶变换逐点相乘。我使用对数间隔的网格（200 个点对 10 的因子进行采样），在原点处有一个附加点。然后我使用一些插值方案（目前只是线性插值$\rho^2$，但我想知道是否应该切换到三次样条插值）以获得分段多项式$\rho^2$傅里叶空间中的产品表示。然后我评估这个表示在一个环上积分的傅里叶变换，以获得两个内核卷积的分段常数近似。

我的问题是结果的双对数图可以揭示旁瓣形式的频谱泄漏。对此我不喜欢的是，我可以将傅里叶空间中的网格做得更细，以降低旁瓣的幅度，但是双对数图可以轻松覆盖 12 个数量级，而且对我来说计算量似乎太大了卷积精度为$10^{-12}$，只是因为双对数图中的伪影与应用所得卷积核的相关结果的准确性无关。另一方面，伪影可能比我意识到的更危险，因为我的内核都应该是正的，但是由于频谱泄漏的伪影，生成的卷积核可能具有负值。

例如，我计算了一个 2 nm 宽的高斯和一个 10 um 宽的高斯之和与两个不同的非常小的（0.35 nm 和 1 nm）高斯的卷积。在下图中，红线是这两个高斯的总和。结果应该与此几乎相同，即两个高斯的总和，其中较小的是 2.03 nm 或 2.236 nm 宽。

用 0.35 nm 宽的高斯卷积后的旁瓣图像：

用 1 nm 宽的高斯卷积后的旁瓣图像：

附录 这里是涉及的更多数学（方程式）：傅里叶变换$\exp(-r^2)$是$\pi\exp(-\pi^2\rho^2)$, 的傅里叶变换$\operatorname{circ}(r)$是$\frac{J_1(2\pi\rho)}{\rho}$, 和傅里叶变换$(1-r^2)^n\operatorname{circ}(r)$也没有更复杂。的反衍生物$\rho$次这些函数也可以解析计算。因此，应该清楚的是，可以分析地评估这些核的傅里叶变换，无论是逐点还是在环上积分。