我正在研究时间分数 PDE 的数值方法。一个问题是我必须计算以下形式的数值积分：

$$\begin{equation} \int_0^{t_m} (t_m-s)^{-\beta}f(s)ds \end{equation}$$

在哪里$t_m$和$0<\beta<1$是常数。注意到积分具有弱奇异核，因此经典求积，例如高斯求积，对于$(t_m-s)^{-\beta}$在$s=t_m$. 所以我的问题是如何以给定的精度数值计算这种积分（因为在计算收敛比时我需要高精度）？

我的尝试：

我用内核推导出了高斯求积$(t_m-s)^{-\beta}$具有最高的代数精度。但是这个公式太复杂了，所以当我计算系数和节点时，MATLAB 会损失精度，导致精度不好。

我尝试过的另一种方法是通过使用积分来计算它。因此，内核将是$(t_m-s)^{1-\beta}/(1-\beta)$, 没有奇点。此方法有效时$f(s)$有一个很好的规律性，说在$C^1$. 但当$f(s)$没有连续导数，例如$|s|$或者 Heaviside 函数，这个方法也是无效的。

更，$(t_m-s)^{-\beta}$只是一种弱奇异核。其他情况呢？有没有什么通用的方法可以解决这个问题？