假设一个配置$X\in\mathbb{R}^{n\times 2}$是 PCA 在一些高维数据上的输出$Y\in\mathbb{R}^{n\times h}$. 请注意，此 PCA 由

$$X=Y\cdot U,$$ 其中的列$U$是的特征向量$Y^TY$对应于它的 2 个主要特征值。自从$X$是 PCA 的结果，那么$X^TX=diag(a, b)$， 对于一些$a, b\in\mathbb{R}$. 如果现在执行 PCA$X$, 那么矩阵$V$包含的特征向量$X^TX$将是单位矩阵的列，结果将是完整的。

假设一个配置$X$归一化（单位长度的轴）$\hat{X}=X\cdot diag^{-1/2}(a, b)$. 如果一个然后执行PCA$\hat{X}$， 然后$\hat{X}^T\hat{X}$将是一个单位矩阵。换句话说，通过规范化列$X$除了纵横比变化（轴拉伸）之外，不能影响 PCA 结果。如果事实上，任何轴的任意拉伸$X$从那时起也没有效果$\hat{X}^T\hat{X}$将是一个对角矩阵。我错过了什么吗？