计算科学 - 在时间相关 PDE 的伪谱域分解方法中强制执行连续性条件 - 吾爱随笔录

我有一个形式的偏微分方程

\frac{d}{d t} f (x, t) = Θ (x) f (x, t) Θ (x) \sim [\frac{d^{2}}{d x^{2}} + k^{2} (x)]

$\frac{d}{dt}f(x,t) = \Theta(x) f(x,t) \qquad \Theta(x) \sim \left[\frac{d^2}{dx^2} + k^2(x)\right]$ 受制于

f (x, t = 0) = f_{0} (x)

$f(x,t=0) = f_0(x)$ ，和

f (x = 0, t) = f (x = 1, t) = 0

$f(x=0,t) = f(x=1,t) = 0$ . 功能

k (x)

$k(x)$ 是分段常数

x \in [0, 1]

$x\in[0,1]$ . 调用

x

$x$ 间隔在哪里

k

$k$ 是常数

I_{j}

$I_j$ . 我想在本地代表解决方案

f

$f$ 作为每个区间内（比如说）切比雪夫多项式的总和

I_{j}

$I_j$ 并在区间边界强制执行连续性条件（

f

$f$ 和

\frac{\partial f}{\partial x}

$\frac{\partial f}{\partial x}$ ）。

现在，由于 RHS 运算符是时间无关的，我可以使用指数来解决这个问题： $f=e^{\Theta t}f_0$ . 我的问题是如何计算矩阵元素 $\Theta$ 考虑子域连续性条件。

或者，我可以使用时间推进方法并使其成为真正的域分解方法，但我仍然不知道如何强制执行连续性条件。我不想使用惩罚方法来近似地强制执行约束；我希望尽可能准确地执行它们，而且我真的不关心并行性（所以称这个 DD 可能会产生误导）。这方面的文献可能存在，但我根本不知道我在寻找什么。

我只粗略描述 $\Theta$ ，但它来自亥姆霍兹方程，所以它是双曲线的，并且 $2\times2$ 块运算符，与 $f$ 实际上是具有对偶的函数的 2 向量。这与问题并没有太大关系，因为我只想知道如何强制执行内部一致性。