计算科学 - 如何找到封闭的表格CC这样CC吨=一个一种吨+ B乙吨CCT=AAT+BBT - 吾爱随笔录

如何找到封闭的表格CC这样CC吨=一个一种吨+ B乙吨CCT=AAT+BBT

计算科学矩阵

2021-12-21 05:00:26

怎么找 $C$ 这样 $CC^T = AA^T + BB^T$ , $A$ 和 $B$ 是已知的。

$A = \left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)$ , $B = \left(\begin{matrix}0\\cY\end{matrix}\right)$ , $c$ 是一个常数。

澄清。Cholesky 分解可以给出解决方案。我想知道是否有任何封闭形式的解决方案？

3个回答

如果 A 和 B 已知，则右手边是已知的，并且必须是对称的半正定的。因此，上述方程有一个解 C，这就是（下三角）Cholesky 因子 $AA^T + BB^T$ . Cholesky 分解是任何线性代数库中的标准程序。MATLAB 的 chol 计算上三角 Cholesky 因子，因此使用它，C 将是 chol(A * A' + B * B')' 。

我将把它留给其他人来确定是否存在关于 X、Y 和 c 的“封闭形式”解决方案，但没有什么能引起我的注意。

编辑：对不起，这不是要删除的意思。

正如其他答案所指出的，您可能正在寻找 Cholesky 因素。然而矩形矩阵 $C=[A,B]$ 确实满足

C C^{T} = A A^{T} + B B^{T}

$CC^T=AA^T+BB^T$ 从技术上讲，这是一个封闭形式的解决方案。

将 A 和 B 代入方程可以得到以下对称矩阵：

C C^{T} = K = [\begin{matrix} X X^{T} & X Y^{T} \\ Y X^{T} & (1 + c^{2}) Y Y^{T} \end{matrix}]

$CC^T=K=\left[\begin{matrix}XX^T & XY^T\\YX^T & (1+c^2)YY^T\end{matrix}\right]$

寻找 $C$ ，您可以使用以下 MATLAB 命令：

C = chol(K,'下')

正定性 $K$ 当然应该保证。

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