我试图通过有限差分近似来解决以下问题：

$u_t = k \, u_{xx}$ , on and ;$0 < x < L$$t > 0$

$u(0,t) = u(L,t) = 0$ ;

$u(x,0) = f(x)$。

我把当作我的问题。$u(x,0) = f(x) = x^2$

编程根本不是我的强项，所以我在实现方面遇到了一些问题。这是我的代码：

 ## This program is to implement a Finite Difference method approximation
## to solve the Heat Equation, u_t = k * u_xx,
## in 1D w/out sources & on a finite interval 0 < x < L. The PDE
## is subject to B.C: u(0,t) = u(L,t) = 0,
## and the I.C: u(x,0) = f(x).
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# definition of solution to u_t = k * u_xx
def u(x,t):
    return u

# definition of initial condition function  
def f(x):
    return x^2

# parameters    
L = 1
T = 10
N = 10
M = 10
s = 0.25

# uniform mesh
x_init = 0
x_end = L
dx = float(x_end - x_init) / N

# time discretization
t_init = 0
t_end = T
dt = float(t_end - t_init) / M

t = np.zeros(M+1)
t = np.arange(t_init, t_end, dt)

# Boundary Conditions
for m in xrange(0, M):
    t[m] = m * dt
    u(0, t[m]) = 0
    u(N, t[m]) = 0

# Initial Conditions
for j in xrange(0, N):
    x[j] = j * dx
    u(x[j], 0) = f(x[j])

# finite difference scheme
for j in xrange(1, N-1):
    u(x[j],t[m+1]) = u(x[j],t[m]) + s * ( u(x[j+1],t[m]) - 
    2 * u(x[j],t[m]) + u(x[j-1],t[m]) )

所以特别是，我想知道（1）我的函数定义是否可以？(2) 我的均匀网格和时间离散化好吗？(3) 我是否为参数选择了合理的值？（我知道对于较小的和，近似值更准确，但缺点是计算时间增加......）$\Delta x$$\Delta t$

(4) 我的循环如何（对于初始/边界条件）？我觉得我需要一个用于有限差分方案的嵌套循环。一个用于 j 值的 for 循环和另一个用于及时遍历每个值 m 的 for 循环。它是否正确？...另外，我不断收到错误消息： u(0, t[m]) = 0 "can't assign to function call." 那里有什么问题？

在此先感谢您的帮助！正如我所提到的，我的编程能力不是很强，所以我觉得做这件事就像一条离水的鱼。