如果偏微分方程是从最小作用原理推导出来的，并且如果它具有不变性，那么某些量是守恒的。例如，在力学中，关于时间的不变性意味着某个标量（称为“能量”）的守恒，关于框架原点的不变性意味着某个向量的守恒（称为“动量”）和相对于框架的方向意味着另一个向量（“角动量”）的守恒。Emmy Noether 的一般定理研究了这些对称性和守恒量的结构。

关于点力学的例子，Landau 的课程 [1] 非常清晰，非常完整。关于 Emmy Noether 的一般理论，[2] 非常有启发性并且相当容易阅读，无需太多背景知识。

[1] Landau 和 Lifshitz，理论物理课程，第 1 卷 - 力学

[2] 德怀特·诺伊恩施万德，艾美·诺特的奇妙定理

我认为质量转换不属于同一类别的保存量。例如在流体动力学中，它由连续性方程明确地强制执行。

正如 Bruno Levy 所指出的，某些类别的物理系统具有众所周知的结构特性。例如，考虑一个哈密顿系统

$\dot z = J\nabla H(z)$

其中是一个辛矩阵，是哈密顿量。哈密​​顿量本身被保留，任何其他函数也被保留，使得泊松括号对于所有。这类系统的对称性产生了守恒定律，并且有使用符号代数的软件包可以自动发现任意 ODE 系统的一些对称性（另请参阅此列表$J$$H$$H$$F$$\{H, F\} = \nabla H^\top J\nabla F = 0$$z$）。哈密​​顿系统具有其他与对称性或守恒定律不直接相关的有用性质。例如，每个平衡点要么是鞍点，要么是中心，即不存在渐近稳定的平衡；在哈密顿流下，相空间区域的体积始终保持不变；和许多其他人。但是，如果您还不确定开始时，用算法确定某个完全任意的系统是否是哈密顿系统可能是不可行的，特别是当您考虑非规范泊松结构时。

其他类型的系统具有不同的结构特性。例如，考虑梯度流

$\dot z = -\nabla F(z)$ ;

然后沿着这个系统的轨迹。热方程是梯度流动的典型例子。梯度流在的极值处具有平衡，平衡点的稳定性取决于$dF/dt \le 0$$F$$F$. 与哈密顿系统不同，梯度流可以具有稳定的平衡。

哈密​​顿系统和梯度流都具有有趣且有用的结构，但通常没有算法可以采用任意微分方程并找出它属于哪一类系统。你当然可以排除一些可能性。例如，如果系统显然具有渐近稳定的平衡，则它不可能是哈密顿量。同样，如果系统的线性化不是对称矩阵，则根据Clairaut 定理，它不可能是梯度流。

此外，在实际应用中总是有一些奇怪的例子与任何分类方案相悖。例如，线性偏微分方程通常分为椭圆、双曲线或抛物线，但有许多示例并不完全适合这些类别：欧拉-特里科米方程在空间域内改变类型；描述薄膜流动的偏微分方程是一个混合椭圆双曲线系统；等等。

偏微分方程基本主题的标准参考是 Lawrence C. Evans 的教科书“偏微分方程”。他的第 8.6 章以非常简洁的方式讨论了诺特定理。

这个问题非常广泛，因此很难确定具体的参考。关于诺特定理的维基百科文章可能是一个好的开始，包括那里给出的参考资料。