计算科学 - 如何为一般情况下的二维隐式有限差分填充矩阵条目 - 吾爱随笔录

计算科学有限差分稀疏矩阵隐式方法

2021-12-17 10:35:07

如果我为 2D 问题导出了一个有限差分公式，例如：

$af_{i,j}+bf_{i-1,j}+cf_{i,j-1}+df_{i-1,j-1}=g_{i,j}$

其中 f 是网格上的未知函数，其他一切都是已知的，在一般情况下如何填充有限差分矩阵中的条目？ $A_{i,j}^{i',j'}$

我可以根据上面的“if then...”形式构建一些规则吗？ $i>j-1$

在每本关于该主题的书中，他们都只是简单地展示了矩阵并证明它是有效的。但我对一般情况感兴趣，因为我想推导出一些复杂的有限差分公式（比二维扩散复杂得多）。使用与我上面使用的不同的符号可能会更好。

1个回答

这实际上取决于如何使用矩阵。在隐式方案中，您通常求解形式为的系统，其中是与时间步长相关的一些小数。对于任何比一维和小二维问题大得多的问题，您必须非常努力地考虑如何实际存储矩阵并解决问题。两种流行的方法是 $(I-\gamma A)x=b$ $\gamma$

稀疏直接方法：MATLAB 特别擅长这些，如果您的矩阵存储为稀疏数组，则反斜杠命令将默认使用这些方法。这需要实际构建矩阵，尽管您只需指定矩阵的非零值以节省空间。在多个维度中，可能最简单的方法是使用 Kronecker 产品将多个 1-D 模板张紧在一起。例如，如果是一维有限差分拉普拉斯算子，而是二维有限差分拉普拉斯算子，则关系式 $D_1$ $D_2$
$D_{2} = D_{1} \otimes I + I \otimes D_{1} .$ $D_2 = D_1\otimes I+I\otimes D_1.$ 这可以用来大大简化构建这些矩阵的过程。然后，还可以在微分算子张量后添加边界条件等内容。
Krylov 迭代方法：使用 Kyrlov 方法，您无需使用矩阵本身即可计算系统的解，即仅使用矩阵向量积。由于这些矩阵非常稀疏，因此矩阵向量乘积相对便宜，而且作为奖励，如果您不想这样做，则无需担心实际形成矩阵。例如，您可以编写一个函数，接收一个未知向量，将其形成一个二维数组（在 2 个空间维度中），然后遍历每个索引并应用有限差分公式并将结果重新整形为向量，这对于 Krylov 方法来说非常好。一些流行的 Krylov 方法是用于一般问题的 GMRES 和用于 spd 问题的共轭梯度 $(I-\gamma A)v$ $v$

其它你可能感兴趣的问题