我有一组前 25 个Zernike polynomials。下面是在 Cartesin 坐标系中显示的几个。
z2 = 2*x
z3 = 2*y
z4 = sqrt(3)*(2*x^2+2*y^2-1)
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z24 = sqrt(14)*(15*(x^2+y^2)^2-20*(x^2+y^2)+6)*(x^2-y^2)
我不使用第一个，因为它是活塞；所以我有这 24 个二维分析函数，用 XY 笛卡尔坐标系表示。所有都定义在单位圆上，因为它们在单位圆上是正交的。我在这里描述的问题与除 Zernike 多项式之外的其他 2D 表面有关。
假设XY坐标系的原点(0,0)与单位圆的圆心相同。
接下来，我对这 24 个多项式进行线性组合来构建 2D 波前形状。我在这个组合中使用了 24 个随机输入系数。
w(x,y) = sum_over_i a_i*z_i (i=2,3,4,....24)
a_i = random coefficients
z_i = zernike polynomials
到目前为止，一切都是可以在纸上完成的分析部分。
现在是离散化！
我知道，当你想重建一个信号（1Dim/2Dim）时，你的采样频率应该至少是信号中存在的最大频率的两倍（奈奎斯特-香农原理）。
这里的信号是上面提到的 w(x,y)，它只是 x 和 y 的简单 2Dim 函数。我现在想在电脑上代表它。显然，我不能沿 x 轴从 -1 到 +1 取所有无限点，对于 y 轴也是如此。我必须接受有限的否。此分析 2Dim 表面 w(x,y) 上的数据点（称为样本点或仅称为样本）
我以米为单位测量 x 和 y，并且
-1 <= x <= +1; -1 <= y <= +1
例如，如果我将 x 轴从 -1 划分为 1，在 50 个样本点中，则 dx = 2/50= 0.04 米。y轴也一样。现在我的采样频率是 1/dx，即每米 25 个样本。y轴也一样。
但是我随意取了50个样本；我可以采集 10 个样本或 1000 个样本。这就是问题的症结所在：有多少样本点？我将如何确定这个数字？
如上所述，有一个定理（Nyquist-Shanon theorem）表示，如果我想忠实地重新构造 w(x,y)，我必须在两个轴上对其进行采样，以便我的采样频率（即每米）至少是 w(x,y) 中存在的最大频率的两倍。这只不过是找到 w(x,y) 的功率谱。想法是空间域中的任何函数也可以在空间频率域中表示，这只不过是对函数进行傅里叶变换！这告诉我们函数 w(x,y) 中有多少（空间）频率，以及这些频率中的最大频率是多少。
现在我的问题首先是如何在我的情况下找出这个最大采样频率。我不能使用 MATLAB fft2() 或任何其他工具，因为这意味着我已经在波前采集了样本！！显然剩下的选择是分析地找到它！但这既费时又困难，因为我有 24 个多项式，而且我将不得不使用连续傅里叶变换，即我将不得不使用笔和纸。
任何帮助将不胜感激。
谢谢