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为什么平滑核的积分不等于 1？

计算科学 matlab sph

2021-12-05 13:14:05

我正在检查 SPH 的平滑内核上的统一条件，但是我不明白为什么积分没有给出 1。

核函数是 $\displaystyle W(||\vec r||,h) = \frac{315}{64\pi h^8}(h^2-r^2)^3$ 如果 $0 \leq ||\vec r|| \leq h$

我试图用下面的matlab代码来近似积分

W = @(r) (r >= 0) .* (r <= 1) * 315/(64*pi*1^4) .* (1^2-r.^2).^3;
integral(W,0,1,'AbsTol',1e-12)

在哪里 $h=1$ 结果是 $0.7162$

我做错了什么，拥有一个积分是统一的内核的目的是什么，即归一化？

1个回答

具有积分 1 的平滑内核的目的通常是当您在位置上有一个点粒子时 $x_0$ 具有密度函数 $\delta(x-x_0)$ , 平滑内核将密度替换为 $W(\|x-x_0\|,h)$ . 换句话说，它平滑了狄拉克三角函数。由于 Dirac delta 函数的积分为 1，因此平滑函数的积分也最好为 1。

积分计算您拥有的粒子数（只有一个）。选择具有错误积分的内核会“创建”或“破坏”粒子。 $\int_{R^3}\delta(x-x_0)\,dx = 1$

积分取整个空间，使用球坐标。在您的情况下，积分是而这应该是 .

1 = \int_{R^{3}} W (‖ x ‖, h) d x = 4 π \int_{0}^{h} W (r, h) r^{2} d r,

$1 = \int_{\mathbb{R}^3} W(\|x\|,h)\,dx = 4\pi \int_0^h W(r,h)\,r^2dr,$

4 π \int_{0}^{h} \frac{315}{64 π h^{8}} (h^{2} - r^{2})^{3} r^{2} d r = h,

$4\pi\int_0^h \frac{315}{64\pi h^8}(h^2-r^2)^3r^2\,dr = h,$

1

$1$

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