在阅读了 Hirsch [1] 的矩阵稳定性章节 (10) 之后，我决定深入研究该章节的参考列表。作为参考引用的其中一篇论文 [2] 展示了一种非常有趣的稳定性分析方法。

这篇论文展示了一个真实世界的具有人工耗散的 NACA0012 翼型的流动解决方案的稳定性评估，以及有望解决这种类型流场的所有铃铛和智慧。

基本上，矩阵稳定性方法，如 Hirsch 中所述，显然在参考文献中使用。[2]，定义如下：

如果你有一个离散的 PDE，你最终会得到。

$\frac{d \bf U }{d t} = \bf S \bf U + \bf Q$.

如果您计算雅可比行列式的特征值$\bf S$，特征值的最大实部告诉您空间离散化方案是否稳定。一个正的真实特征值会随着时间的推移而放大，最终会破坏你的稳定性。

我正在尝试研究一些非常简单的案例的稳定性，但是，我不想使用矩阵的定义带状矩阵定义$\bf S$. 我希望能够以数值方式推导出它，所以当案例变得不那么琐碎时，我仍然能够评估我的案例的稳定性。我现在面临的问题是如何推导矩阵$\bf S$，因为它被定义为：

$\bf S = \frac{\partial\, \bf RHS}{\partial \, \bf U}$

在哪里$\bf RHS$代表我的空间离散化方案，和$\bf U$是我的解决方案向量。

对于一维情况，$\bf RHS$是一个大小相同的向量$\bf U$. 我尝试使用简单的有限差分，但是，它们看起来不够健壮。或者，至少，尝试计算导数：

for i in range(1,n_points):
    drhs_du = (rhs[i+1] - rhs[i-1]) / 2.0*(u[i+1] - u[i-1])

给了我很多零除法。

我看到了一些使用 Frechet 导数来计算$\bf S$Jacobian，但使用它的作者（我亲自认识）也报告说这种类型的数值导数相当麻烦。

最后，我的问题与以数字方式计算此雅可比行列式的稳健建议有关。你会使用哪种算法，甚至，你们会使用哪种衍生定义？是否有可靠的高性能库并实现了算法？

谢谢 ！

[1] Hirsch.C《内外流数值计算 Vol.01》

[2] Eriksson.LE Rizzi“对欧拉方程离散近似稳态收敛的计算机辅助分析”

编辑#01

以下评论第二段中描述的方法的正确实现是否可以翻译为：

def frhs(unn,unm1,dx):
    return (unn - unm1)/dx

eps = 0.0001

drhs_du = np.zeros((nx,nx))

for i in range(1,nx-1):
    for j in range(1,nx-1):
        drhs_du[i,j] = (frhs(un[i] + eps,un[i-1] + eps,dx) - frhs(un[j],un[j-1],dx))/eps

?