计算科学 - 摆加速度方程的初始条件 - 吾爱随笔录

摆加速度方程的初始条件

计算科学非线性方程

2021-12-23 16:39:45

我有一个非常简单的问题，但似乎无法理解我需要做什么。在从它的 jerk 方程模拟一个钟摆时，我很难设置初始条件来让它发挥作用。例如，钟摆的运动方程是

\ddot{θ} = - A \sin θ

$\ddot{\theta} = -A \sin{\theta}$

我有兴趣从它的混蛋中建模，

\overset{⃛}{θ} = - A \dot{θ} \cos θ

$\dddot{\theta}=-A\, \dot{\theta} \cos{\theta}$

所以坐标 $\theta = x, \dot{\theta}=y$ 和 $\ddot{\theta} = z$ 的一点点变化可以产生三个运动方程：

\dot{x} = y

$\dot{x}=y$

\dot{y} = z

$\dot{y}=z$

\dot{z} = - A y \cos x .

$\dot{z}=-A \, y \cos{x}.$

我的问题是初始条件。由于问题是非线性的并且无法解决，我如何选择将产生正确结果的初始条件（围绕 $x=0$ 对称振荡（从仅查看 $x$ 轴的视图）。具体来说，我想知道 $(x_0,y_0,z_0)=(a,0,?)$ 将其拉回并放手。一般过程是我所追求的，这意味着我也可以解决， $a$

\dot{x} = y

$\dot{x}=y$

\dot{y} = z

$\dot{y}=z$

\dot{z} = - B z - A y \cos x

$\dot{z}=-B\, z-A \, y \cos{x}$

或任何其他可能是对称扰动（大约）的东西，如果你愿意的话。我能够解决这个问题，但目前我在作弊。我设置（这对于任何总是有益的，因为摆动底部的时间导数对于速度而言将为零）。然后我查看和相应的，但我希望它更干净。 $x=0$ $(x_0,y_0,z_0)=(0,v,0)$ $v$ $x_{max}$ $z$

谢谢！

3个回答

您不能独立选择的初始条件。那是因为你有和因此。和的初始条件不是独立的。 $x,y,z$ $z=\ddot\theta$ $z(0)=\ddot\theta(0)=-A\sin(\theta(0))=-A\sin(x(0))$ $x$ $z$

但是如果你用原来的二阶方程，你会发现你可以独立选择（初始角度）和（摆的初始角速度）。然后，您可以求解微分方程以获得，并且混蛋只是该解的三阶导数。 $\theta(0)$ $\dot\theta(0)$ $\theta(t)$

可以设置的最一般情况如下： }变量你可以区分前面的方程 wrt。。这给你：其中下标表示偏导数。很明显，方程必须带有的初始条件。这是通过等式完成的。如果感兴趣的变量是非线性的......可以使用迭代方法来解决 for。

\begin{matrix} (*) & f (\dot{x}, x, t) = 0, x (0) = x^{0} \end{matrix}

$f(\dot{x},x,t)=0, \qquad x(0)=x^0\tag{*}$

\dot{x}

$\dot{x}$

t

$t$

\begin{matrix} (**) & f_{\dot{x}} \ddot{x} + f_{x} \dot{x} + f_{t} = 0 \end{matrix}

$f_\dot{x}\ddot{x}+f_x\dot{x}+f_t=0\tag{**}$

(* *)

$(**)$

\dot{x} (0) = {\dot{x}}^{0}

$\dot{x}(0)=\dot{x}^0$

(*)

$(*)$

f ({\dot{x}}^{0}, x^{0}, t^{0}) = 0

$f(\dot{x}^0,x^0,t^0)=0$

{\dot{x}}^{0}

$\dot{x}^0$

物理模拟的常识是首先尽可能简化方程，然后才设置数值方法。可以通过分析完成的所有事情都必须通过分析完成，以免您增加数字伪影。所以，你不需要解三阶方程（它甚至会适得其反）。的三阶导数，正如某人在他/她的回答中已经说过的那样。 $\theta$

关于方程（二阶一）是“不可解的”：它是可解的，它的解是雅可比椭圆函数。但是，您不需要解析地解决它。只需得到一个数值解，然后使用有限差分找到它的三阶导数。

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