让

$$y(x,\lambda,\alpha)=2\lambda(\alpha+1)x^\alpha+(1-x)^{\alpha+1}-\lambda(1+x)^{\alpha+1}$$

成为我们正在寻找根源的函数，写作$y=y(x)=y(x,\lambda,\alpha)$为速记。然后注意我们的边界情况是

$$y(0)=1-\lambda\implies\begin{cases}y(0)\le0,&\lambda\ge1\\y(0)>0,&\lambda<1\end{cases}$$ $$y(1)=2\lambda(\alpha+1-2^\alpha)\ge0$$

这意味着当$\lambda\ge1$, uniroot函数找到保证收敛的根，因为$y(0)\le0\le y(1)$中间有根。

虽然我没有证明这一点，但图形强烈表明没有解决方案$0<\lambda<1$，所以在那里寻根是没有意义的。