我面临以下问题，具体而言：我有一个地区$\Omega$在二维或三维中，表示为二进制掩码和初始密度$u_0$在我想按照扩散方程进化的那个区域内：

$$\partial_t u(\vec{x},t)=\nabla(D\nabla u)+f(u)$$

其中 D 可以是二次矩阵。我正在努力确保形式的 Neumann 边界条件$(D\nabla u)\cdot\vec{n}|_{\partial\Omega}=0$，即扩散方向应沿整个表面平行于表面。我能找到（并且实际上理解......）的所有内容都是一维的，我可以将其转换为矩形区域和标量$D$，但现在我正试图移动到任意区域。我的第一个猜测是获取表面法线（例如从距离变换的梯度），然后将扩散矢量沿表面投影到与表面法线正交的平面上，但我不知道这是否是一个好方法。

诺依曼边界条件是否应该暗示质量守恒？因为我看不出这在离散方案中是如何工作的。如果它以任何方式相关，我将使用一个简单的时间前向模型和空间中心差异。我需要一个隐式时间方案吗？任何帮助深表感谢！