我有一个扩散问题，可以分解为：

$-\Delta u = f(u)$ 在$\Omega ~/~ \Omega_{int}$

$u = 1$ 在$\Omega_{int}$

请注意，这是对中心圆中值 1.0 的内部Dirichlet 约束，与具有齐次边界条件的标准教科书示例不同。（见图）把它想象成中间的一个源，它扩散到域中，f(u) = u(1-u) 是一个逻辑增长项。我希望该反应在某个最大总质量处停止。

我想施加一个积分条件来稳定解决方案：

$P(u) = \int_{\Omega} u ~ dx =V_{tot}$

现在，我试图深入研究这个问题，我发现可以在有限元离散化的双线性形式中添加惩罚项，但我对如何正确定义惩罚项以便我的牛顿求解器深感困惑将表现正确。

乘以测试函数 v，在域上积分，我们可以在没有体积约束的情况下制定问题，如下所示：

找到 u, v 使得

$r(u,v) = a(u,v)+ l(v) = 0$

在哪里$r(u,v)$是一个全局残差（由牛顿求解器最小化），$a(u,v)$是扩散项的规范离散化，并且$l(v)$光盘。的反应项。

现在用拉格朗日乘数的语言，我们有一个函数$r(u,v)$和一个约束$P(u)$在卷上，以便新的 Functional 看起来像：

$L(u,v,\lambda)= a(u,v)+ l(v) -\lambda(P(u)-V_{tot}) = 0$

• 如何以干净的方式将其应用于我的有限元方法？
• 我将如何确定$\lambda$?
• 是否有任何关于如何通过惩罚项构建体积约束的可读文献？
• 在 FE-Methods 的背景下，是否有比Ivo Babuska的工作更具可读性/实践性的文献/论文？
• 我如何确保可能包含域范围积分的惩罚项不会弄乱我的牛顿（因为雅可比的必要计算不再是本地的）？