我通过将矩形区域划分为 13 个子区域来解决它。

$E(S(X,Y)) = \iint _{Rect} P(\sigma)S(x,y) d\sigma=\frac{1}{W \cdot H}\lbrack 4\iint_AS(x,y)d\sigma+2\iint_BS(x,y)+2\iint_CS(x,y)d\sigma+\iint_DS(x,y)d\sigma+4\iint_ES(x,y)d\sigma \rbrack$

每个子区域可以用一些线积分或一些三角函数来计算。并且可以用matlab求解。

最后：

$E(S(X,Y))=\frac{\frac{R^4\, \left(3\, \pi + 11\right)}{3} + 2\, \left(H - 2\, R\right)\, \left(\pi\, R^3 - \frac{2\, R^3}{3}\right) + 4\, R^4\, \left(\pi - \frac{4}{3}\right) - 2\, \left(2\, R - W\right)\, \left(\pi\, R^3 - \frac{2\, R^3}{3}\right) - \pi\, R^2\, \left(H - 2\, R\right)\, \left(2\, R - W\right)}{H\, W}$