我有一个复杂的分析函数，我想对其进行数值导数。

$$\begin{align} f(z) &\equiv f(x,y) = u(x,y) + i v(x,y) \\ \frac{d f(z)}{d z} & = \lim_{h \to 0} \frac{f(z + h) - f(h)}{h} = \frac{\partial u(x,y)}{\partial x} + i\frac{\partial v(x,y)}{\partial x} \end{align}$$

现在，我可以通过复步法进行偏导，如

$$\frac{\partial u(x,y)}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{\Im{u(x + i h,y)}}{h} \\ \frac{\partial v(x,y)}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{\Im{v(x + i h,y)}}{h} \\ \frac{d f(z)}{d z} = \lim_{h \to 0} \left[ \frac{\Im{u(x + i h,y)}}{h} + i \frac{\Im{v(x + i h,y)}}{h}\right]$$

这里，$h$是一个实数无穷小。

我想为一个通用的复杂分析函数实现这个。我从一个复杂的功能开始

#include<complex>
#include<iostream>
#include<limits>
using namespace std;

complex <double> f(complex< double > z) { return z*z; }
complex <double> u(complex< double > z) { return real(f(z)); }
complex <double> v(complex< double > z) { return imag(f(z)); }

double h = std::numeric_limits<double>::epsilon();
double h_inv = 1./std::numeric_limits<double>::epsilon();
int main()
{
    //Calculating derivative at z = 1 + I;
    double x = 1; y = 1;
    complex<double> xh{x.,h};
    complex<double> z = xh+complex<double>(0,y);
    complex<double> dudx = imag(u(z))*h_inv;
    complex<double> dvdx = imag(v(z))*h_inv;
    complex<double> dfdz{dudx,dvdx};
    return 0;
}

这不起作用，因为我正在取$f$的实部和虚部，它们都是实值函数，并且我无法在复步法中得到任何虚部，所以dfdz = 0.

• 我希望这整个过程是数字的，这样我就不必分析计算实部和虚部并明确插入代码

• 在这种情况下如何实现复杂的步骤方法？