假设我给你一系列数字，我告诉你它们是随机挑选的。你知道我不是想欺骗你。编号是：$3$,$1$,$4$,$1$, $5$,$3$,$2$,$3$,$4$,$3$.

我现在建议你预测下一个，或者至少，尽可能接近。你会选哪个号码？

[思考]

[计算]

• 我敢打赌，大多数读者可能会在$0$和$6$. 因为跨度有限。
• 也许是一个整数。谁有可能提出$\pi$（甚至考虑第一个数字）？
• 可能 $2$,$3$， 要么$4$. 甚至会$3$.

基本上，您假设我提供了一些未知规则的数字。也许，你可能会认为（或做出假设）给定数字的序列，如果足够长，可以让你很好地理解我想到的规则。如果你这样做，你假设我的心理过程是遍历的：

一个过程，其中每个序列或相当大的样本都同等地代表整体（就统计参数而言）（Merriam-Webster）

在这里，无法确定我的系列是否遵循遍历过程。3432 是我的卡 PIN 码，3 是错误的（我本打算是 6，但我很笨拙），4、3、1 和 5 是第一个数字$\pi$我经常使用。我的下一个“数字”将是 C（十六进制）。我不相信这个过程是遍历的。每个数字都来自不同的法律。但老实说，我不知道。也许我受制于一些更高阶的力量，这些力量驱使我遵循遍历规则。

因此，遍历性是过程规则中某种“简单性”的假设。像平稳性或稀疏性。使用普通骰子$6$面孔。投掷一枚普通硬币。如果没有任何外部因素试图影响结果（一个看不见的生物抓住了骰子并展示了它的选择），你很可能会产生一个遍历过程。

与其用无限数量的拇指准确地在同一秒投掷无限数量的硬币，不如每秒投掷一枚硬币，并相信最终结果大致相同。

布朗运动也具有遍历特性。

来自维基百科文章：

如果随机过程的统计特性可以从过程的单个、足够长的随机样本推导出来，则称该随机过程是遍历的。

换句话说：时间集成统计属性与实现集成统计属性相同。

也许我们需要退后一步，谈谈什么是随机过程，才能开始。

想象这是一个暴风雨的日子。你坐在家里，看着窗外。偶尔，您会看到窗户被吹落的树叶。你得到你的白板标记并在你的窗口上绘制一个坐标系，所以你现在可以观察多个叶子路径并比较它们：

因此，每条路径都是“暴风雨中的叶子路径”随机过程的一种实现。

现在，您首先考虑其中一条路径：您打电话给一个朋友，他是一位出色的空气动力学/物理学专家，你们两个得出了一个随机模型，以了解物体在房子周围被吹走的情况。事实证明，$y$休假的职位在平均超过后具有恒定的期望值$x$.

现在，你去看看一个固定的$x$-位置，但在所有数百片叶子上取平均值。事实证明，通过仔细的数学建模，$y$对所有实现取平均值的值与对单个实现取平均值时的值相同$x$.

非遍历案例通常更难理解（这就是人们更频繁地寻找此类过程示例的原因）。

作为遍历过程的一个例子，让这个过程$X(t)$表示重复的硬币翻转。每次$t$，我们有一个随机变量$X$可以选择$0$要么$1$. 如果它是一个公平的硬币，那么整体平均值是$\frac{1}{2}$因为这两种可能性是等概率的。

现在，如果您多次重复此试验，例如$N$然后计算时间平均值$m=\frac{X(1)+X(2)+\cdots}{N}$，那么你可以看到$m\to \frac{1}{2}$. 因此，整体平均值等于时间平均值，并且过程是遍历的。

关于你问题的第二部分，我们可以使用遍历性来简化问题。例如，在整体平均值和时间平均值之间，可能很难甚至不可能计算（或模拟）。但是由于我们知道（或假设）这个过程是遍历的（即它们是相同的），我们只计算更简单的那个。举个例子，我可以想到蒙特卡罗方法（例如我们用来模拟通信系统的错误性能的方法），我们模拟传输-接收链并重复几次并对结果进行平均以找出关于集成属性（如错误概率等）。