让我们从数学定义开始。

离散信号功率定义为

$$P_s = \sum_{-\infty}^{\infty}s^2[n] = \left|s[n]\right|^2.$$

我们可以将这个概念应用于噪声$w$在一些信号之上计算$P_w$以同样的方式。信噪比 (SNR) 可以简单地表示为

$$P_{SNR}=\frac{P_s}{P_w}$$

如果我们收到了噪声损坏的信号$x[n] = s[n]+w[n]$然后我们按如下方式计算 SNR

$$P_{SNR}=\frac{P_s}{P_w} = \frac{P_s}{\left|x[n]-s[n]\right|^2}.$$

这里$\left|x[n]-s[n]\right|^2$只是原始信号和损坏信号之间的平方误差。请注意，如果我们通过信号中的点数来缩放功率的定义，这将是均方误差 (MSE)，但由于我们处理的是功率比，因此结果保持不变。

现在让我们解释一下这个结果。这是信号功率与噪声功率之比。从某种意义上说，功率是信号的平方范数。它显示了您与零平均有多少平方偏差。

您还应该注意，我们可以通过简单地将图像向量的行和列的两倍相加，或者简单地将整个图像拉伸成单个像素向量并应用一维定义，来将此概念扩展到图像。你可以看到没有空间信息被编码到权力的定义中。

现在让我们看看峰值信噪比。这个定义是

$$P_{PSNR}=\frac{\text{max}(s^2[n])}{\text{MSE}}.$$

如果你盯着这个看足够长的时间，你会发现这个定义真的和$P_{SNR}$除了比率的分子现在是信号的最大平方强度，而不是平均值。这使得该标准不那么严格。你可以看到$P_{PSNR} \ge P_{SNR}$并且只有当您的原始干净信号在任何地方都是恒定的并且具有最大幅度时，它们才会彼此相等。请注意，尽管常数信号的方差为零，但它的功率不是；这种恒定信号的电平确实会影响 SNR，但不会影响 PSNR。

现在，为什么这个定义有意义？这是有道理的，因为在 SNR 的情况下，我们正在研究信号的强度和噪声的强度。我们假设没有特殊情况。事实上，这个定义直接改编自电力的物理定义。在 PSNR 的情况下，我们对信号峰值感兴趣，因为我们可能对信号的带宽或我们需要表示它的位数感兴趣。这比纯 SNR 更具内容特定性，并且可以找到许多合理的应用程序，其中包括图像压缩。在这里，我们说重要的是图像的高强度区域通过噪声的能力如何，而我们对低强度下的表现却很少关注。

信噪比

它显示了真实图像和估计图像之间的关系。该比率表示噪声对原始图像的破坏程度。

峰值信噪比

在 PSNR 中，我们对信号峰值感兴趣。这比纯 SNR 更具内容特异性。这里我们说图像的高强度区域如何通过噪声，而对低强度区域的关注要少得多。

SNR 适用于强度均匀分布的图像，而 psnr 适用于强度变化很大的图像。因此，根据情况，我们可以使用其中任何一种。