在讨论不确定性原理的任何特殊形式之前，定义信号的时间和频率宽度和这些量没有唯一的定义。通过适当的定义，可以证明只有高斯信号满足等式的不确定性原理。$\Delta_t$$\Delta_{\omega}$

考虑具有傅里叶变换的信号 )满足$f(t)$$F(\omega)$

$$\int_{-\infty}^{\infty}f^2(t)dt=1\quad\textrm{(unit energy)}\\ \int_{-\infty}^{\infty}t|f(t)|^2dt=0\quad\textrm{(centered around }t=0)\\ \int_{-\infty}^{\infty}\omega|F(\omega)|^2d\omega=0\quad\textrm{(centered around }\omega=0)$$

这些条件实际上都不是限制。它们都可以通过适当的缩放、平移和调制来满足（对于具有有限能量的信号）。

如果我们现在定义时间和频率宽度如下

$$\Delta_t^2=\int_{-\infty}^{\infty}t^2|f(t)|^2dt\\ \Delta_{\omega}^2=\int_{-\infty}^{\infty}\omega^2|F(\omega)|^2d\omega$$

然后不确定性原理指出

$$\Delta_t^2\Delta_{\omega}^2\ge\frac{\pi}{2}\tag{2.6.2}$$

（如果对于的消失速度快于）$f(t)$$1/\sqrt{t}$$t\rightarrow\pm\infty$

其中不等式满足高斯信号的等式

$$f(t)=\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}e^{-\alpha t^2}\tag{2.6.3}$$

上面的方程编号对应于下面的证明，来自Vetterli 和 Kovacevic 的Wavelets and Subband Coding (p.80)：

我不能给你这背后的所有理论（因为它确实填满了书本），但事实证明，海森堡恰好成为这个信号系列的精确等式：

$$s_{t_0,\omega_0,\sigma,\phi,\gamma}(t) = \exp\left(-\left(\frac{t-t_0}{\sigma}\right)^2 + i \left(\phi + \omega_0 (t-t_0) + \gamma (t-t_0)^2\right)\right)$$

其中所有参数都是实数。该族由单个 Gabor 原子的时频二次辛同胚生成。这些辛同胚保留了海森堡不确定关系。

编辑：让我说得更精确，实际上也更正确。我上面给出的信号使时频区域最小化，但不是时频不确定性乘积。如果你想要最小$\Delta F \cdot \Delta T$然后$\gamma$从上面必须消失。

然而，时间频率区域的概念可以推广到测量不与时间和频率轴对齐的形状的区域。这意味着我们测量的是由 F 和 T 跨越的任何两个共轭变量的最小不确定性乘积，而不是 F 和 T 之间的不确定性乘积。我不会详细说明，但是对于这个时频区域的定义，信号族给出你是最低的。

不确定性原理为分辨率设置了理论界限，因此它永远不会写成等式。

您遇到的相等关系适用于特定的分析上下文和分析实现。在这种情况下，上下文是信号分析，因此时间/频率是感兴趣的共轭变量，实现是使用中的特定小波。

等式关系提供了一种比较不同分析实现的分辨率的方法。解释这些关系时必须小心，因为分辨率的定义不应该，但可能会有所不同。

一旦定义了两件事，等式关系就合适了：1）分辨率的数学含义。2）分析方法（在这种情况下，选择小波）。