使用卷积，你不会遇到任何稳定性问题，因为没有递归过滤，所以你不会累积任何错误。换句话说，系统全为零，没有极点。我听说过基于 FFT 的卷积比时域卷积具有更低的误差，但我自己没有得到验证，这仅仅是因为它具有 O(n log n) 算术运算而不是 O(n^2)。

通常，据我所知，巴特沃斯滤波器是作为递归 (IIR) 滤波器实现的，所以这是一个不同的主题。IIR 滤波器有极点和零点，因此在实践中可能存在稳定性问题。此外，对于 IIR 滤波器，基于 FFT 的方法不是一种选择，但从好的方面来说，IIR 滤波器往往是非常低阶的。

至于 IIR 滤波器的稳定性问题，它们往往会在更高阶出现问题——我只是抛出一个数字并说大约 6 阶正在推动它。相反，它们通常被实现为级联双二阶（二阶滤波器部分）。对于您的 5 阶滤波器，将其写为 z 域传递函数（它将是 5 次有理函数），然后将其分解为 5 个极点和 5 个零点。收集复共轭，您将拥有两个双二阶和一个一阶滤波器。一般来说，随着极点越来越接近单位圆，稳定性问题往往会出现。

IIR 滤波器中的噪声和限制周期也可能存在问题，因此有不同的滤波器拓扑（即直接形式 I，直接形式 II）具有不同的数值属性，但我不会过度考虑这一点 - 只需使用 double-精度，它几乎肯定会足够好。

在几乎所有情况下，您的最佳选择既不是卷积也不是 FFT，而是直接应用 IIR 滤波器（例如使用 sosfilt() 函数）。就 CPU 和内存消耗而言，这将大大提高效率。

是否产生数值差异取决于特定的过滤器。唯一可能出现一些差异的情况是极点非常非常接近单位圆。即使有一些技巧可以提供帮助。不要使用传递函数表示和 filter()，而是在 sosfilt() 中使用极点和零点。这是差异的示例。

n = 2^16;  % filter length
fs = 44100; % sample rate
x = zeros(n,1); x(1) = 1;
f0 = 15; % cutoff frequency in Hz
% design with poles and zeroes
[z,p,k] = butter(5,f0*2/fs);
clf
plot(sosfilt(zp2sos(z,p,k),x));
% design with transfer function
[b,a] = butter(5,f0*2/fs);
hold on
plot(filter(b,a,x),'k');

filter() 在大约 15Hz @44.1kHz 的截止频率处变坏。对于 sosfilt()，截止频率可以远低于 1/100 Hz @44.1kHz，没有任何问题。

如果您有稳定性问题，FFT 也无济于事。由于您的滤波器是 IIR 滤波器，因此脉冲响应是无限的，必须先截断。在这些非常低的频率下，脉冲响应变得如此之长，以至于 FFT 也变得不切实际。

例如，如果您想要 1/100 Hz @ 44.1 kHz 的截止频率并想要 100 dB 脉冲响应的动态范围，您需要大约 2500 万个样本！！！在 44.1 kHz 下这几乎是 10 分钟，比原始信号长很多很多倍

为什么你认为事情会有所不同？理论概念应该转化为实际应用，唯一的区别是浮点问题，我们无法逃避。您可以通过 MATLAB 中的简单示例轻松验证：

x=randn(5,1);
y=randn(5,1);
X=fft(x,length(x)+length(y)-1);
Y=fft(y,length(x)+length(y)-1);

z1=conv(x,y);z2=ifft(X.*Y);
z1-z2

ans =

   1.0e-15 *

   -0.4441
   -0.6661
         0
   -0.2220
    0.8882
   -0.2220
         0
   -0.4441
    0.8882

正如你所看到的，误差是机器精度的数量级。不应该有任何理由不使用 FFT 方法。正如 Endolith 所提到的，使用 FFT 方法进行过滤/卷积/互相关等更为常见，并且速度更快，除了非常小的样本（如本例中）。并不是说时域处理永远不会完成……这一切都归结为应用程序、需求和约束。