信息处理 - 协方差与自相关 - 吾爱随笔录

信息处理自相关协方差证明

2022-01-16 06:49:31

我试图弄清楚这些概念之间是否存在直接关系。严格从定义来看，它们通常看起来是不同的概念。然而，我越想它，我就越觉得它们非常相似。

让 $X,Y$ 是 WSS 随机向量。协方差， $C_{XY}$ ，是（谁）给的

C_{X Y} = E [(X - μ_{x}) (Y - μ_{y})^{H}]

$C_{XY}=E\left[(X-\mu_x)(Y-\mu_y)^H\right]$ 在哪里

H

$H$ 代表向量的 Hermitian。

让 $Z$ 是一个 WSS 随机向量。自相关函数， $R_{XX}$ ，是（谁）给的

R_{Z Z} (τ) = E [(Z (n) - μ_{z}) {(Z (n + τ) - μ_{z})}^{H}]

$R_{ZZ}(\tau)=E\left[\left(Z(n)-\mu_z\right)\left(Z(n+\tau)-\mu_z\right)^H\right]$

编辑注对此定义进行了更正，适用于信号处理，请参见下面的 Matt 的回答。

协方差不涉及时间的概念，它假设随机向量的每个元素都是某个随机生成器的不同实现。自相关假设随机向量是一些初始随机发生器的时间演化。但归根结底，它们都是同一个数学实体，一个数字序列。如果你让 $X=Y=Z$ ，然后出现

C_{X Y} = R_{Z Z}

$C_{XY}=R_{ZZ}$ 我还缺少什么更微妙的东西吗？

2个回答

根据您对自相关的定义，自相关只是两个随机变量的协方差 $Z(n)$ 和 $Z(n+\tau)$ . 此函数也称为自协方差。

顺便说一句，在信号处理中，自相关通常定义为

R_{X X} (t_{1}, t_{2}) = E {X (t_{1}) X^{*} (t_{2})}

$R_{XX}(t_1,t_2)=E\{X(t_1)X^*(t_2)\}$

即，不减去平均值。自协方差由下式给出

C_{X X} (t_{1}, t_{2}) = E {[X (t_{1}) - μ_{X} (t_{1})] [X^{*} (t_{2}) - μ_{X}^{*} (t_{2})]}

$C_{XX}(t_1,t_2)=E\{[X(t_1)-\mu_X(t_1)][X^*(t_2)-\mu^*_X(t_2)]\}$

这两个功能是由

C_{X X} (t_{1}, t_{2}) = R_{X X} (t_{1}, t_{2}) - μ_{X} (t_{1}) μ_{X}^{*} (t_{2})

$C_{XX}(t_1,t_2)=R_{XX}(t_1,t_2)-\mu_X(t_1)\mu^*_X(t_2)$

请注意您对自相关的定义如何包含一个附加项 $\tau$ ，它指定两个数字序列的偏移量 $Z(n)$ 和 $Z(n+\tau)$ . 事实上，符号表明 $R_{ZZ}(\tau)$ 是为任何定义的连续函数 $\tau \in \mathbb{R}^+$ ，尽管 $C_{XY}$ 是一个标量。

正如你所提到的，如果你让 $X=Y=Z$ ，那么你的意思是 $\tau = 0$ ，这是一种特殊情况 $R_{ZZ}(\tau)$ .

以我个人的经验（天体物理学，各种传感器处理），协方差作为系数用来检查两个数据集的相似性，而自相关用来表征相关距离，即一个数据演变成另一个数据的速度完全。

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