给定一个用于整形数字信号的滤波器，，并且鉴于我们不希望过滤器组合导致任何 ISI，什么“匹配”过滤器，将最大化信噪比？
匹配滤波器用于数字通信以最大化信噪比。通常使用根升余弦滤波器来对信号进行整形，因为它在频率空间中是有界的，并且可以将相同的滤波器应用于接收的信号以提高信噪比 (SNR) 而不会导致符号间- 干扰（ISI）。
但是，如果使用不太理想的滤波器对信号进行整形，则在接收器处使用相同的滤波器会引入 ISI。接收端滤波器的最佳选择是什么还不是很明显。
我的理解是通过最大化 SNR，所以我想在满足过滤器不会导致 ISI 的约束的同时最大化它（为了,是一个整数，是符号宽度）。
据推测，可以通过求解带有一些拉格朗日乘数约束的欧拉-拉格朗日方程来做到这一点。有没有更简单的方法，或者我犯了错误，或者走错了方向？
对于具有等概率符号的 AWGN 信道上的线性调制情况（一种非常常见的情况），最佳方法是真正使用与符号波形匹配的滤波器，即：
使用匹配滤波器可在每个决策时刻在滤波器输出处提供最佳信噪比。当您记得匹配滤波器在其输入信号和预期符号波形之间充当滑动互相关器时，这一点很容易看出，在所有可能的滞后情况下将两者关联起来。在最佳决策时刻，滤波器的脉冲响应（通常按比例缩放以具有单位能量）与传输的符号完全一致，类似于互相关操作中的零滞后条件。在这个时间值，滤波器的输出等于接收符号中的能量，按数据相关因子缩放（例如，对于 BPSK，匹配滤波器将输出要么)，加上一个噪声项。
采样时刻滤波器输出的噪声能量不取决于滤波器脉冲响应的时域形状，仅取决于脉冲响应的总能量（如前所述，通常为单位）。因此，通过在采样时刻最大化滤波器输出中的信号能量，可以最大化信噪比。通过选择要与符号形状匹配的接收器滤波器，我们已经这样做了，因为符号波形与具有相同形状的滤波器脉冲响应具有最大相关性。因此，匹配滤波器为 AWGN 信道情况提供最大 SNR。
不妨碍挥手（你绝对可以用更严谨的数学来解决它，但我是一名工程师，这是一项免费服务；如果你想深入了解细节，请查看任何数字通信理论文本），您可能会认为我忘记了您询问的非理想 ISI 案例。不要害怕，因为我断言，如果您知道传输的脉冲形状，匹配滤波器仍然是 AWGN 通道的最佳选择。
关键：如果您知道脉冲整形和接收器检测滤波器的响应和，以及最后“少数”传输的符号，您可以计算出这些先前符号引起的 ISI 并相应地加以说明；它是一个确定性的量。您需要的符号历史数量与您拥有的 ISI 数量有关，即级联滤波器响应拖尾的符号周期数。
当然，您通常无法确定前几个符号是什么。如果你这样做了，那么你的 SNR 可能足够高，以至于你的 ISI 可以忽略不计。在更有趣的情况下，你不能做出这样的假设。相反，使用维特比算法采用最大似然序列检测方法。此过程称为维特比均衡，因为在此模型中，您将由脉冲形状引起的 ISI 视为应用于发送波形的软值卷积码。维特比均衡器中 ISI 的持续时间定义了所需的算法状态数，类似于卷积码中的约束长度。
这种方法通常用于具有您注意到的非最佳脉冲形状的系统中；一个值得注意的例子是 GSM（它使用跨越多个符号间隔的高斯脉冲形状）。Sklar 在 2003 年发表了关于这个主题的一个很好的参考资料：
B. Sklar，“我是如何学会爱上网格的”，IEEE 信号处理杂志，第 87-102 页，2003 年 5 月